Hilfe mit wurzelgleichung?

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2 Antworten

  Jetzt ist dieser gef ickte Editor abermals abgestürzt; wenn ich mich nicht spute mit den ganzen Formatierungen, bestraft er mich erneut.

Hier hast du die Standardantwort; wie du siehst, verlangt sie zweimaliges Quadrieren. Ich komme mit einem Mal Quadrieren hin. Mein Verfahren setzt zwei Vereinfachungen in der Gleichung voraus.

1) Du hast eine ===> Linearkombination aus ( genau ) zwei Wurzelausdrücken.

2) Die Unbekannte ( die du a nennst ) darf im ===> Radikanden höchstens linear auftreten.

3) Meine wahre Stärke kommt hier überhaupt noch nicht zum Tragen; statt zweier Quadratwurzeln bedeutet es keine wesentliche Erschwernis, wenn du eine 999. so wie eine 4 711. Wurzel hättest. Es ist eben wie immer; diese aufgabe ist geeignet, Zusammenhänge zu vermitteln, von denen deine Lehrer noch nicht mal was ahnen.

Mein erster Schritt ist ja noch ganz konventionell; auch ich isoliere eine Wurzel. Aber so seltsam es klingen mag: Den Sinn hinter dieser Unbekannten a verstehst du erst richtig, wenn ich die selbe in y umtaufe:

           sqr ( y ) = 11 - sqr ( y + 11 )             ( 1 )

   Und jetzt führe ich die Hilfsvariable x ein. Und zwar definiere ich die linke Seite von ( 1 ) als dieses x :

       x := sqr ( y )            ( 2a )

           Wir stellen alles nach y um:

          y = x ²               ( 2b )

        Das böse Wort von Albert Einstein. " Es reicht eben nicht, dass ich die Dinge bloß REGISTRIERE ; ich muss sie auch INTERPRETIEREN . " Plötzlich entpuppt sich diese Gleichung als Chart mit x als Abszisse und y als Ordinate. Und die linke Seite von ( 1 ) ist nichts weiter als die Normalparabel ( 2b ) Wenn ich doch die linke Seite von ( 1 ) gleich x setze, dann muss die rechte Seite von ( 1 ) notwendig auch gleich diesem x sein.

        x = 11 - sqr ( y + 11 )                ( 3a )

     Dadurch, dass ich dieses x habe, können die Umformungen auf der rechten Seite von ( 1 ) auf einmal total verschieden sein von dem, was ich links gemacht habe; die " Waage " drückte sich ja bereits darin aus, dass ich beide Seiten gleich x setze. Abermals Umstellen von ( 3a ) nach y

        y = ( x - 11 ) ² - 11             ( 3b )

       die Normalparabel mit Scheitel bei

        ( x0 | y0 ) = 11 ( 1 | - 1 )                ( 3c )

       ( 2b;3b ) sind gleichzusetzen; wir bestimmen weiter nichts als die Schnittpunkte zweier stink normalen Parabeln.

       ( x - 11 ) ² - x ² = 11               ( 4a )

        Selbst in dem allgemeineren Fall eingangs unter Ziffer 3) landest du immer noch bei einer Polynomgleichung in x , also etwas, was wir als beherrschbar ansehen. Wenn wir jetzt setzen

       a := x - 11 ; b := x                ( 4b )

      so steht doch in ( 4a ) links die 3. binomische ( a ² - b ² )

       [ ( x - 11 ) + x ] [ ( x - 11 ) - x ] = 11             ( 4c )

      - 11 ( 2 x - 11 ) = 11 ===> x = 5             ( 4d )

     Quadrieren ist ja keine Äquivalenzoperation; uns fällt die Probe aber leichter. In ( 2a ) war x definiert als POSITIVE Wurzel ; es reicht x > 0 Aus dem selben Grund in ( 3a ) 11 - x > 0 In ( 2b ) schließlich y = 25

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wurzeln trennen

√(a+11) = 11 - √a ; jetzt quadrieren und rechts 2. Binom

a+11 = 121 - 22√a + a ordnen

5 = √a

a=25

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Kommentar von Floridaexpert
09.12.2015, 18:08

danke danke nur was genau hast du zwischen dem zweiten und dritten schritt gemacht

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