Frage von JChristofStinkt, 84

Hilfe mit einer Mathematik Aufgabe?

Moin,

leider habe ich Probleme diese Aufgabe zu lösen beziehungsweise den Lösungsweg nachzuvollziehen. Kann mir deswegen jemand die folgende Aufgabe mit Hilfe der "Vollständigen Induktion" lösen und mir den Lösungsweg aufzeigen:

"Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n der Ausdruck 5^(2*n)-2^n durch 23 teilbar ist"

Vielen Dank

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 20

Hallo,

das Prinzip ist folgendes:

Du weist nach, daß die Behauptung für n=1 stimmt, daß also 5^(2n)-2^n durch 23 teilbar ist. 5^(2*1)-2^1=25-2=23.

Für n=1 stimmt die Behauptung also.

Nun bildest Du das nächste Glied in der Kette, das entsteht, wenn Du anstatt n den Term n+1 in die Formel einsetzt:

5^(2*(n+1))-2^(n+1)

Das kannst Du umformulieren:

5^(2n+2)-2^(n+1)=25*5^(2n)-2*2^n

Nun kommt der Trick: Du weißt, daß 5^(2n)-2^n durch 23 teilbar ist, weil dies die Behauptung ist und Du es für den Fall n=1 nachgewiesen hast.

Wenn das so ist, dann ist natürlich auch ein Vielfaches von 5^(2n)-2^n durch 23 teilbar, etwa 2*(5^(2n)-2^n)=2*5^(2n)-2*2^n

Wenn - wie nachzuweisen ist, 25*5^(2n)-2*2^n durch 23 teilbar ist, dann muß auch ein Term durch 23 teilbar sein, der entsteht, wenn ich von
25*5^(2n)-2*2^n den Ausdruck 2*5^(2n)-2*2^n abziehe.

20a  zum Beispiel ist - wenn a eine natürliche Zahl ist - durch 5 teilbar.

Ziehe ich davon ein kleineres Vielfaches von a ab, das ebenfalls durch 5 teilbar ist, etwa 10a, bleibt auf jeden Fall ein Ergebnis übrig, das ebenfalls durch 5 teilbar ist, denn 20a-10a=5*4a-5*2a=5*(4a-2a) und das ist zweifelsohne durch 5 teilbar, weil ich den Faktor 5 ausklammern konnte.

Ebenso verhält es sich hier:

25*5^(2n)-2*2^n-(2*5^(2n)-2*2^n)=25*5^(2n)-2*2^n-2*5^(2n)+2*2^n

-2*2^n+2*2^n heben sich auf und es bleibt 25*5^(2n)-2*5^(2n) übrig.

Wenn ich nun 5^(2n) ausklammere, bekomme ich 5^(2n)*(25-2)=23*5^(2n), was selbstverständlich durch 23 teilbar ist.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von JChristofStinkt ,

Ich danke dir!

Kommentar von kreisfoermig ,

Es geht einfacher, wenn man zuerst den Term umformt: 5²ⁿ – 2ⁿ = 25ⁿ – 2ⁿ. Dann gilt im Induktionsschritt:

25ⁿ⁺¹ – 2ⁿ⁺¹ =     25·25ⁿ – 2·2ⁿ
= (23+2)·25ⁿ – 2·2ⁿ
= 23·25ⁿ + 2·(25ⁿ–2ⁿ)
↑ ↑
durch 23 durch 23 teilbar
teilbar per I.V.

Darum ist der n+1. Term, 25ⁿ⁺¹ – 2ⁿ⁺¹, durch 23 teilbar.

Antwort
von Naydoult, 16

Dir wurde ja schon ausreichend geholfen. Dir sollte demnächst bei bei Sätzen wie: "Zeigen Sie, dass für alle n aus IN, gilt..." oder bei ähnlichen sofort die vollständige Induktion in den Sinn kommen. Wenn die nämlich wahr sind, kann man die leicht durch Induktion beweisen. Schön an dieser Beweismethode ist ja, das man oft weiß wo man hin will.


Kommentar von Naydoult ,

Erstmal Frage durchlesen. xD Naja, damit ist wohl der Inhalt der Antwort hinfällig, ups. ^^

Antwort
von poseidon42, 33

IA) Sei n = 1 so folgt:

5^(2) - 2^1 = 23   mit  23/23 = 1  Element aus IN.

IV) ...

IS) n --> n+1

A(n + 1) = 5^(2(n + 1)) - 2(n + 1) = 5^2*(5^n)^2 - 2*2^n

= 25*(5^n)^2 - 2*2^n - 23*2^n + 23*2^n = 25*(5^(2n) - 2^n) + 23*2^n

= 25*A(n) + 23*2^n

und da beide Summanden nach IV) durch 23 teilbar sind ist die Behauptung für alle n aus IN bewiesen.

Kommentar von poseidon42 ,

Also im Endeffekt ein Fall für die "kreative Null", du addierst einfach bei dem Induktionsschritt 23*2^n - 23*2^n .

Kommentar von JChristofStinkt ,

Deine bisherigen Ausführungen haben mir sehr weiter geholfen, danke!

Trotzdem frage ich mich noch, was du mit "IV)" in der dritten Zeile und dem dahinter stehenden "..." meinst?

Willst du sagen, dass du die gleiche Berechnung wie bei "IA)" auch mit n=2, bis n=4 gemacht und dieses einfach nur nicht aufgeschrieben hast?

Danke

Kommentar von poseidon42 ,

Das IV) ist eine Abkürzung für "Induktionsvorraussetzung", dieser kurze Satz der dann folgt muss stets bei der Argumentation per Induktion enthalten sein. Ich war zu faul ihn hinzuschreiben, da du wahrscheinlich nur mit dem Induktionsschritt Probleme hast. Da müsste etwas der Form stehen:

"Angenommen die Aussage ist wahr für ein n aus IN "

(peinlicherweise kann ich mich gerade nicht an den genauen Wort laut erinnern)

Kommentar von JChristofStinkt ,

Vielen Dank, jetzt verstehe ich die Aufgabe!

Kommentar von poseidon42 ,

Bei Induktion ist das so etwas wie ein Rekursiver-Beweis:

- Zuerst kommt die Behauptung

- Im Induktionsanfang zeigen wir dann, dass die Behauptung für einen Startwert n(0) gilt

- Mit der Induktionsvorraussetzung können wir dann die Basis legen um die Gültigkeit der Behauptung für alle n >= n(0) zu beweisen, indem wir annehmen, dass die Wahrheit des Schrittes (n) bewiesen ist

- Im Induktionsschluss müssen wir dann zeigen, dass die Wahrheit des nächsten Gliedes in der Kette (n + 1) unter der Vorraussetzung der Wahrheit von A(n) ebenfalls wahr ist.

Damit haben wir gewährleistet, dass alle Nachfolgenden Glieder nach n(0) ebenfalls wahr sind.

Antwort
von kreisfoermig, 13

[Willy1729] hat dir schon mit einem Beweis per Induktion geholfen. Hier des Interesses halber ein direkter Beweis.

Behauptung. 23 | 5²ⁿ – 2ⁿ für alle n∈ℕ.

Beweis. Sei ∈ ℕ. Man berechne modulo 23:

5²ⁿ – 2ⁿ = 25ⁿ – 2ⁿ
≣ 2ⁿ – 2ⁿ da 25 ≣ 2 mod 23
= 0

daher 5²ⁿ – 2ⁿ ≣ 0 mod 23. Das heißt, 23 | 5²ⁿ – 2ⁿ. QED.


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