Frage von Tobiasop08o, 83

Hilfe mit der Gleichung s = x·|x| – 2x?

Sei 𝕃(s) = {x : s = x·|x| – 2x}. Ich soll die Menge {s∈ℝ : |𝕃(s)|=2} bestimmen, d. h. alle reelle s, für die die Gleichung exakt 2 Lösungen (x-Werte) hat.

Ich finde nur für s=0, aber dann drei x-Werte… Ich hab auch schon den Graphen der Funktion gezeichnet

Danke Mfg Tobi

Antwort
von kreisfoermig, 35

Hier ein anderer Ansatz. Die Betrachtungsweise über ℂ ermöglicht eine klarere Lösung. Die Lösung bleibt: s=±1.

SCHRITT 1. Betrachte die Gleichung:

(†)…                 s = x·|x|–2x

SCHRITT 2. Schreibe x = |x|·exp(ιθ), wobei θ=Arg(x)∈[0,2π) und s = |s|·exp(ιφ), wobei φ=Arg(s)∈[0,2π). Es gilt

    x·|x|–2x = |x|²·exp(ιθ)–2|x|·exp(ιθ)
= (|x|²–2|x|)·exp(ιθ)
= (|x|²–2|x|+1 – 1)·exp(ιθ)
= ((|x|–1)² – 1)·exp(ιθ)

SCHRITT 3. Falls (|x|–1)² – 1 = 0, d. h. ||x|–1|=1, d. h. |x|∈{0; 2}, so gilt

(†) ⟺ s=0

Falls (|x|–1)² – 1 > 0, d. h. ||x|–1| > 1, d. h. |x|∈(–∞,0)∪(2,∞), d. h. |x|∈(2,∞), so gilt

(†) ⟺ |s|·exp(ιφ) = ((|x|–1)² – 1)·exp(ιθ)
⟺ |s| = (|x|–1)² – 1 (>0) und φ=θ

Falls (|x|–1)² – 1 < 0, d. h. ||x|–1| < 1, d. h. |x|∈(0,2), so gilt

(†) ⟺ |s|·exp(ιφ) = –(1–(|x|–1)²)·exp(ιθ)
⟺ |s| = 1 – (|x|–1)² (>0) und φ=θ+π (mod 2π)

SCHRITT 4.

  • Für s=0, existieren somit 3 Lösungen für x in ℝ, nämlich {0,±2} und überabzählbar viele in ℂ, nämlich {0}∪{x∈ℂ:|x|=2}.
  • Für s≠0 gilt
(†) ⟺ |x|∈(2,∞) und θ=φ und (|x|–1)² – 1 = |s|
ODER
|x|∈(0,2) und θ=φ–π und 1–(|x|–1)² = |s|
⟺ |x|∈(2,∞) und θ=φ und |x| = 1±√(1+|s|)
ODER
|x|∈(0,2) und θ=φ–π und |x| = 1±√(1–|s|)
⟺ θ=φ und |x| = 1+√(1+|s|)
ODER
θ=φ–π und |x| = 1±√(1–|s|)
⟺ (a) x = (1+√(1+|s|)) · exp(ιφ)
ODER (b) x = -(1+√(1-|s|)) · exp(ιφ)
ODER (c) x = -(1–√(1-|s|)) · exp(ιφ)
  • Also, falls 0<|s|<1 machen dies exakt 3 Lösungen aus, {a,b,c}
  • Falls |s|=1 machen dies exakt 2 Lösungen aus {a,b=c}
  • Falls |s|>1 machen dies exakt 1 Lösung aus {a}.

SCHRITT 5. Darum haben wir folgende vollständige Klassifizierung:

       #Lösung über ℝ     #Lösung über ℂ
========================================
|s|=0 3 Kontinuum
----------------------------------------
0<|s|<1 ??? 3
s∈ℝ 3 3
s∉ℝ 0 3
----------------------------------------
|s|=1 ??? 2
s∈ℝ 2 2
s∉ℝ 0 2
----------------------------------------
1<|s|<∞ ??? 1
s∈ℝ 1 1
s∉ℝ 0 1
----------------------------------------

Darum gibt es exakt 2 Lösungen über ℂ gdw. |s|=1. Und es gibt exakt 2 Lösungen über ℝ gdw. s ∈ {±1}.

Kommentar von Tobiasop08o ,

Ich finde deinen Lösungsansatz sehr beeindruckend. Danke deshalb. Aber leider bin ich lang noch nicht so weit dies zu verstehen... 

Dennoch vielen dank. Ich werde mal etwas rum recherchieren um das zu verstehen.

Vielen dank auch für deine vorherige antwort

Kommentar von kreisfoermig ,

Das einfachste:

  • schreibe y statt s (wenn es hilft).
  • es gibt ja zwei Gleichungen:
  1. x≥0 und y = x²–2x
  2. x≤0 und y = -x²–2x
  • einfach auf einen Graphen skizzieren (beachte, dass 1 nur in der rechten Hälfte und 2 nur in der linken Hälfte des kartesischen Koordinatensystems gemalt wird)
  • suche y-Werte aus, denen genau 2 x-Werte im Gesamtgraphen entsprechen. Ausm Graphen ist ersichtlich, dass es je nach y-Wert entweder 1; 2; oder 3 x-Werte gibt. Es kommen 2 x-Werte vor genau bei denjenigen y-Werten, wo in der einen Hälfte des Koordinatensystems die Kurve eine Extremstelle hat, also bei y=±1.
Kommentar von Dovahkiin11 ,

Mal eine Randfrage. Hast du Mathematik studiert? Ist diese Rechnung ein Teilgebiet der Funktionentheorie, oder wozu zählt man das? Nur aus Interesse.

Kommentar von kreisfoermig ,

Hey, ja hab ich. Na ja, gehört nicht wirklich einem besonderen Gebiet… es ist einfach stumpfes Rechnen und erfordert grundlegende Kenntnisse über komplexe Zahlen ; )

Wichtigere Grundlagen, die jede haben soll: AnaIysis (FunktionalanaIysis, Maßtheorie, Topologie, lineare AnaIysis), Algebra(=Gruppen, Körper, usw.). Man kann z. B. mit 2 dieser Teilteilgebiete wählen, und die anderen dann nach und nach erlernen. Im Prinzip kann man sich alles anhand der Fachliteratur beibringen. (Es bedarf aber etwas Lernstruktur zweck Effizienz.)

Kommentar von Dovahkiin11 ,

Danke! ^^

Kommentar von kreisfoermig ,

Interaktive graphische Lösung auf https://www.geogebra.org/m/ZDFrnhkC verfügbar.

Antwort
von kreisfoermig, 67

reelle zahlen, s, finden, für die es genau 2 x Werte gibt

Wie bitte? Ich verstehe den Satz nicht.

Kommentar von Tobiasop08o ,

Diejenigen reellen Zahlen s, für welche die Gleichung genau zwei verschiedene lösungen für x hat

Kommentar von kreisfoermig ,

gut. Ich nehme an, wir arbeiten über ℝ, sonst ist die Lösung schwieriger.

s = x·|x|–2x ⟺ x²–2x=s und x≥0
ODER x²+2x=-s und x<0
⟺ (x–1)²=s+1 und x≥0
ODER (x+1)²=s–1 und x<0
⟺ x–1=±√(s+1) und x≥0
ODER (x+1)=±√(s–1) und x<0
⟺ x = 1±√(s+1) und x≥0
ODER x = -1±√(s–1) und x<0
⟺ x = 1+√(s+1) und -1≤s
ODER x = 1–√(s+1) und -1≤s≤0
ODER x = -1–√(s–1) und 1≤s
ODER x = -1+√(s–1) und 1≤s<2

Wir haben es also mit folgenden Fällen zu tun:

  • Fall 1. -1≤s≤0. Dann gilt: GLEICHUNG hat 2 Lösungen ⟺ s+1≠0  ⟺ s≠–1.
  • Fall 2. 0<s<1. Dann gilt: GLEICHUNG hat exakt 1 Lösung (x=1+√(s+1)).
  • Fall 3. 1≤s<2. Dann gilt: GLEICHUNG hat 2 Lösungen ⟺ s–1≠0 ⟺ s≠1.
  • Fall 4. s≥2. Dann gilt: GLEICHUNG hat exakt 1 Lösung (x=-1–√(s–1))
  • Fall 5. s<-1. Dann hat die Gleichung 0 Lösungen.

Darum gilt:

GLEICHUNG hat exakt 2 ℝ-Lös. ⟺ s∈(-1,0)∪(1,2)

Kommentar von kreisfoermig ,

Ich habe einen Fehler gemacht bei der Ergänzung. Ich schreibe die Lösung erneut:

s = x·|x|–2x ⟺   0–0=s und x=0
ODER x²–2x=s und x>0
ODER x²+2x=-s und x<0
⟺ s=0 und x=0
ODER (x–1)²=1+s und x≥0
ODER (x+1)²=1-s und x<0
⟺ s=0 und x=0
ODER x = 1±√(1+s) und x>0
ODER x = -1±√(1–s) und x<0
⟺ (a) s=0 und x=0
ODER (b) x = 1+√(1+s) und -1≤s
ODER (c) x = 1–√(1+s) und -1≤s<0
ODER (d) x = -1–√(1–s) und s≤1
ODER (e) x = -1+√(1–s) und 0<s≤1

Darum gilt:

  • Fall 1. s=0. Dann |𝕃(s)|=3, nämlich 𝕃(s)={a,b,d}.
  • Fall 2. s<-1. Dann |𝕃(s)|=1, nämlich 𝕃(s)={d}.
  • Fall 3. s>1. Dann |𝕃(s)|=1, nämlich 𝕃(s)={b}.
  • Fall 4. s=-1. Dann |𝕃(s)|=2, nämlich 𝕃(s)={b=c, d}.
  • Fall 5. s=1. Dann |𝕃(s)|=2, nämlich 𝕃(s)={b, d=e}.
  • Fall 6. -1<s<0. Dann |𝕃(s)|=3, nämlich 𝕃(s)={b,c,d}.
  • Fall 7. 0<s<1. Dann |𝕃(s)|=3, nämlich 𝕃(s)={b,d,e}.

Darum

GLEICHUNG hat 2 ℝ-Lös. ⟺ s∈{0; -1; 1}

Kommentar von kreisfoermig ,

Sorry, die Schlussfolgerung der Analyse oben ist natürlich

GLEICHUNG hat 2 ℝ-Lös. ⟺ s∈{-1; 1}

(Fälle 4 und 5.) ⊣

Wenn du dies graphisch bestätigen willst, zeichne auf einem Graphen:

y = x²–2x für x≥0 und y=-(x²+2x) für x≤0.

Die y-Werte, für die es 2 x-Werte gibt ist die gesuchte Menge.

Antwort
von beniceman, 52

X= 0 ,2 ,-2
Wenn die Gleichung = 0

Kommentar von kreisfoermig ,

was zum…??? Das ergibt noch weniger Sinn. Eine Gleichung ist eine logische Aussage, sie hat keinen Wert.

Kommentar von beniceman ,

denn alle reele Zahlen sind drin

Kommentar von kreisfoermig ,

Deine Aussage ergibt keinen Sinn. Bitte vollständig argumentieren.

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