Frage von nickXXX, 82

Hilfe! Kann mir jemand mit zwei mathematischen Fragen helfen?

Ich stecke schon seit Stunden mit zwei Fragen fest:

1) Die Menge aller Lösungen von 2cos(x-60°)=-1 soll im Bogenmaß bestimmt werden. Ich weiß überhaupt nicht, wo ich anfangen soll.

2) Ich stelle gerade eine Funktion um und habe nun einen Bruch "Wurzel aus x+3 geteilt durch x" Aber wie bekomme ich die Wurzel aus dem Zähler raus?

Für Erklärungen und Lösungshinweise wäre ich euch richtig dankbar!

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 33

das untere x ist nicht in der Wurzel?

dann mal x nehmen , dann quadrieren;

x+3=0

x=-3

Kommentar von nickXXX ,

Vielen Dank!
Das x+3 steht im Zähler eines Bruches und steht in einer Wurzel - der Nenner lautet x und steht nicht in einer Wurzel.
Wenn ich nun x durch Multiplikation aus dem Nenner hole, wie stelle ich es dann neben das "Wurzel x +3"? Die Wurzel verwirrt mich

Kommentar von Ellejolka ,

w(x+3)/x = 0 dann mal x

w(x+3)=0   weil das x sich links wegkürzt;

dann quadrieren

x+3 = 0

x = -3

Kommentar von nickXXX ,

Super! Das hat geholfen! Ich wusste nicht mehr, ob ich aus der Wurzel kürzen darf. Aber jetzt schon :-)
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!

Kommentar von Ellejolka ,

das ist nicht aus der wurzel weggekürzt; das x im nenner stand doch gar nicht unter der wurzel.

Kommentar von nickXXX ,

Das x im Zähler stand aber doch in der Wurzel

Kommentar von Ellejolka ,

ja, klar- aber wir nehmen mal x , um den Nenner zu beseitigen;

zB a/b = c dann mal b

ergibt

a = b • c

das a bleibt, wie es ist.

Kommentar von Comment0815 ,

Es wurde nicht gekürzt, sondern bei der Äquivalenzumformung beide Seiten mit x multipliziert. Dadurch fällt das x weg, weil es auf der rechten Seite mit 0 multipliziert wird. Mit x durchmultiplizieren darfst du aber nur, wenn x ungleich 0 ist. Aber das ist es ja nicht, wie sich später herausstellt.

P.S.: Sorry, Ellejolka. Jetzt war ich langsamer als du. Aber ich denke meine Antwort ergänzt deine trotzdem ganz gut.

Antwort
von Comment0815, 33

1)

2 cos(x-60°)= -1           |:2 |arccos (auch cos^-1 genannt)
x-60° = arccos(-1/2) |+60° (60°=Pi/3)
x = arccos(-1/2)+Pi/3
Wenn du die rechte Seite jetzt ausrechnest erhältst du
2Pi/3 + Pi/3 = Pi.


Jetzt musst du beachten, dass der cos mit 2Pi periodisch ist. Daher wiederholt sich das Ereignis nach Pi+2Pi=3Pi wieder, und dann noch bei Pi+2*2Pi und Pi+3*2Pi und ... Also jeweils immer nach einem halben Kreis (Pi) und dann wieder einen ganzen Kreis (2Pi) weiter und dann zwei ganze Kreise (2*2Pi) weiter. Allgemein gesprochen Pi+k*2Pi, wobei k element der ganzen Zahlen sein muss.

2) Wie lautet denn die ganze Funktion? Und was willst du durch das Umstellen erreichen?



Kommentar von nickXXX ,

Prima herzlichen Dank! Eigentlich ganz einfach! :-)

Die Funktion aus meiner zweiten Frage soll nur nach x umgestellt werden zur Nullstellenbestimmung. Also eigentlich nichts Großartiges. Ich bin leider total eingerostet, weil ich seit vielen Jahren keine höhere Mathematik angewendet habe und nun grübel ich vor so einfachen Teilrechnungen :/

Kommentar von Comment0815 ,

Also lautet Teil 2

0=sqrt(x+3)/sqrt(x) ?

0=sqrt(x+3)/sqrt(x) |zuerst x ungleich 0. Denn sonst müsstest du durch 0 teilen. Wenn du diese Bedingung notiert und akzeptiert hast darfst du einfach mit sqrt(x) multiplizieren, denn sqrt(x) ist ja dann nicht mehr Null, sonst wäre das nicht zulässig. Dann bleibt übrig:

0=sqrt(x+3) |quadrieren

0=x+3 |-3

x=-3 |dieses Ergebnis beinhaltet nicht x=0, daher darfst du die Bedingung von vorhin jetzt wieder vergessen.

Falls noch Fragen offen sind frag einfach noch mal nach. ;-)

Kommentar von nickXXX ,

Ich bin etwas fraglos vor dem Ausdruck "sqrt" - soll das eine Wurzel darstellen? Das x steht nämlich nicht in einer Wurzel.

Ich habe noch eine Frage zur ersten Problematik. Ich komme nun nicht weiter, wie ich die Lösungsmenge definieren kann. Meine Vermutung wäre L= {X E R \ pi}. Macht das Sinn?

Kommentar von Comment0815 ,

Ja sqrt steht für squareroot, also Wurzel. Dass das x nicht unter einer Wurzel steht hab ich übersehen. Das beeinflusst die Lösung in diesem Fall aber überhaupt nicht.

Als Lösungsmenge für x könntest du L={Pi+k*2Pi | k E Z} schreiben.

Dein Vorschlag würde ja bedeuten, dass die Gleichung für alle x außer Pi lösbar ist. Aber das ist sie ja nicht.

Kommentar von nickXXX ,

Ui, die Lösungsmenge ist ja ganz anders!
Nachvollziehen kann ich das leider nicht komplett. Wofür steht denn das Element "k"? 

Kommentar von Comment0815 ,

Also wenn in der Aufgabenstellung nicht stehen würde "die Menge aller Lösungen" könntest du einfach L={Pi} reinschreiben. Aber jeweils nach einem ganzen Kreis wiederholt sich ja immer alles. Ein ganzer Kreis entspricht 2Pi. Also die nächste Lösung nach der ersten halben Runde (Pi, hier wäre k=0) ist ein ein halb Runden (3Pi, k=1), danach die nächste nach zwei ein halb Runden (5Pi, k=2), u.s.w. Genau so geht es auch in die negative Richtung. Also von Pi aus einen ganzen Kreis Rückwärts, dann landen wir bei -Pi (k=-1). Noch einen Kreis zurück, dann sind wir bei -3Pi (k=-2), u.s.w. Da du nicht alle Lösungen so in die Lösungsmenge reinschreiben kannst (denn es sind unendlich viele) musst du dir mit dem Trick behelfen und das was ich jetzt schon ein paar Schritte weit angedeutet habe verallgemeinern. Und diese Entwicklung lässt sich durch Pi+k*2Pi (k E Z) beschreiben.

Außer in deiner Aufgabenstellung steht, dass 0<=x<2Pi sein soll (<= steht für "kleiner gleich". Dann reicht es, wenn du Pi in die Lösungsmenge schreibst.

Kommentar von nickXXX ,

Tausend Dank! Jetzt habe ich das verstanden. K Ist schlicht und ergreifend einfach nur der Kreis! Kann es sein, dass ich vorhin die Lösungsmenge mit dem Definitionsbereich verwechselt habe? :-)

Kommentar von Comment0815 ,

Ja, also k*2Pi ist ein (bzw. mehrere) Kreise.

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