Frage von Nattie123445, 17

Hilfe! Induktionsschritt weiter auflösen?

Hallo, Und zwar studiere ich Mathematik und wir haben Übungsaufgaben gerechnet zur vollständigen Induktion. Bei der Aufgabe, deren Foto ich hochgeladen habe, komme ich bei dem Auflösen der Gleichung im Induktionsschritt nicht weiter. Ich bin dabei von der linken Seite ausgegangen und habe auch die Induktionsvorraussetzung angewandt, aber ich weiß nicht wie es jetzt weiter geht. Ich hab überlegt Vlt n auszuklammern aber dann wüsste ich auch nicht wie es weiter geht Ich bin bis hier her gekommen :

(n4+6n3+13n2+12n+4):4

Also das ganze steht im Bruch :-) ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 14

Hallo,

das Ergebnis stimmt schon mal.

Du mußt eben nur zeigen, daß Du auf zwei Arten zum selben Ergebnis kommst;

nämlich einmal, indem Du zu der Summe auf der rechten Seite der Gleichung die Summe von (k+1)³ aus der linken Seite addierst,

und einmal, indem Du direkt k+1 in die Summenformel auf der rechten Seite einsetzt.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von kreisfoermig, 1

Hier ein Beweis ohne Induktion.

Lemma 1. Seien n, p∈ℕ. Dann gilt ∑ (k über p) über k von 0 bis n–1 = (n über p+1). ⊣
Beweis. Laut des Pascal'schen-∆ gilt für alle k∈ℕ, dass
(k+1 über p+1) = (k über p+1) + (k über p)
und damit (k über p) = (k+1 über p+1) – (küber p+1).
Daraus folgt

∑ (k über p) über k von 0 bis n–1
= ∑ (k+1 über p+1) – (k über p+1)
= (n über p+1) – (0 über p+1) da Teleskopsumme
= (n über p+1) – 0

                                                                                                                    QED.

Folgerung 1. Sei n∈ℕ. Dann ∑ k über k von 0 bis n–1  = (n über 2). ⊣
Beweis. Für alle k∈ℕ gilt k = (k über 1). Die Behauptung folgt aus Lemma 1 mit p=1.
                                                                                                                    QED.

Folgerung 2. Sei n∈ℕ. Dann ∑ k³ über k von 0 bis n–1 = (n über 2)². ⊣
Beweis. Für alle k∈ℕ gilt k³ = k·(k²–1 + 1) = k·(k–1)(k+1) + k = 3!·(k+1 über 3) + k. Darum

∑ k³ über k von 0 bis n–1
= 3!·∑ (k+1 über 3) über k von 0 bis n–1
+ ∑ k über k von 0 bis n–1

= 3!·∑ (k über 3) über k von 1 bis n+1–1
+ ∑ k über k von 0 bis n–1

= 3!·∑ (k über 3) über k von 0 bis n+1–1
da (0 über 3) = 0
+ (n über 2) … aus Folgerung 1

= 3!·(n+1 über 4) + (n über 2)
= 3!/4! (n+1)n(n–1)(n–2) + (n über 2)
= 2!/4 (n+1)·(n über 2)·(n–2) + (n über 2)
= ½((n+1)(n–2) + 2)·(n über 2)
= ½(n²–n–2 + 2)·(n über 2)
= ½n(n–1)·(n über 2)
= (n über 2)·(n über 2)
= (n über 2)²

                                                                                                                    QED.

Satz. ∑ k³ = (∑ k)² alle Summen über k von 1 bis n. ⊣
Beweis. Diese Summen sind gleich den Summen von 0 bis n+1–1, k=k³=0 für k=0. Man wende Folgerungen 1 und 2 an und erhält ∑k³ = (n+1 über 2)² = (∑k)².
                                                                                                                    QED.

Antwort
von MissMaple42, 14

Hast du es schon mal mit dem "kleinen Gauß" versucht? Versuche mal die rechte Seite umzuformen. Wende auf die Summe (ohne das Quadrat) den kleinen Gauß an, Quadriere dann as Ergebnis. Wenn du dann das gleiche rauskriegst, wie oben geschrieben, bist du fertig.

Kommentar von Nattie123445 ,

ja das habe ich versucht aber da steht dann auf dem Bruchstrich was anderes nämlich: n4+5n2+4

Antwort
von FelixFoxx, 17

n^4+6n³+13n²+12n+4

= (n+1)(n³+5n²+8n+4)

=(n+1)²(n²+4n+4)

=(n+1)²(n+2)²

(Summe[k=1 bis n] k)²=(n(n+1)/2)²=(n²(n+1)²/4

(Summe[k=1 bis n+1]k)²=((n+1)(n+2)/2)²=(n+1)²(n+2)²/4

genau das, was wir oben haben...

Kommentar von Nattie123445 ,

Super daaaankeschön

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