Trigonometrie - kann mir jemand ganz genau erklären wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss?

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4 Antworten

Hallo,

ein anderer Ansatz wäre noch, wenn Du von Punkt D aus eine Parallele zu Seite a bis zur Seite b ziehst. Den Punkt, an dem diese Parallele auf b trifft, nenne ich P.

So bekommst Du das Trapez ABPD, in dem Du noch eine Parallele zu Seite d von B aus in Richtung der Strecke DP ziehst, also senkrecht nach oben. Diesen Schnittpunkt nenne ich Q.

Nun hast Du das Rechteck ABQD, an das rechts das rechtwinklige Dreieck BPQ angefügt ist. 

Über dem Trapez befindet sich nun das Dreieck DPC - und das ist das eigentlich Interessante. Mit diesem Dreieck kannst Du wirklich etwas anfangen. Du kennst den Winkel Gamma bei Punkt C: 37° (völlig normale Temperatur für einen Winkel, es scheint ihm gut zu gehen).

Weiter kennst Du die Seite c: 10,5 cm.

Du kennst sogar den Winkel DPC: 108°, derselbe wie Winkel Beta, weil Stufenwinkel an Parallelen immer gleich sind.

Mit diesen Angaben und dem Sinussatz kannst Du die Strecke DP berechnen, die 6 cm + QP beträgt. Die Strecke DQ ist nämlich genau 6 cm lang, weil sie die gegenüberliegende Rechteckseite von Seite a ist.

DP verhält sich zum Sinus von 37° wie 10,5 zum Sinus von 108°, also:

DP/sin(37)=10,5/sin(108), also:

DP=10,5 cm*sin(37)/sin(108)=6,644 cm.

Dann ist die Strecke QP 0,644 cm lang - das Stück, um das die obere Parallele vom Trapez länger ist als die untere. (Ich hoffe, Du hast eine Skizze vor Augen; wenn nicht, dann mach Dir schnell eine.)

Mit diesem Wissen können wir uns um die Seite BQ=d kümmern, denn d und BQ sind die beiden anderen gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks ABQD und damit gleich lang.

Hier hilft am schnellsten der Tangens, der das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck ist.

Das rechtwinklige Dreieck ist das Dreieck BPQ. Der Winkel QBP ist bekannt, er ist nämlich Beta minus 90°=18° (Skizze)

Dann gilt: tan(18)=0,644/BQ, somit ist BQ=0,644/tan(18)=1,982.

Damit hast Du Seite d berechnet.

Seite b setzt sich zusammen aus den Strecken BP und PC.

Für BP reicht nun der Satz des Pythagoras, da die beiden Katheten des Dreiecks BPQ inzwischen bekannt sind: BQ=1,982, QP=0,644

Somit ist BP die Wurzel aus der Summe der Quadrate dieser beiden, also die Wurzel aus 1,982²+0,644²=2,084.

Was nun zur Seite b noch fehlt, nämlich die Strecke PC, liefert der Kosinussatz, der in beliebigen Dreiecken gilt und mit dem Du die Seite berechnen kannst, die einem bekannten Winkel gegenüberliegt, wenn auch die Schenkel bekannt sind, die diesen Winkel einschließen.

Der bekannte Winkel ist der Winkel PDC. Da in einem Dreieck alle drei Winkel zusammen 180° ergeben und in dem Dreieck DPC schon zwei Winkel bekannt sind, nämlich 108° und 37°, ist es nicht schwer, herauszufinden, daß der dritte Winkel 35° groß sein muß.

Der Seite PC liegt also ein 35°-Winkel gegenüber, der von der Seite
DP=6,644 cm und der Seite c=10,5 cm eingeschlossen wird.

Dann ist nach dem Kosinussatz die Strecke PC gleich der Wurzel aus:

6,644²+10,5²-2*6,644*10,5*cos(35)=6,333

Zusammen mit Strecke BP=2,084 cm ergibt das 8,417 cm. Damit ist Seite b auch erledigt und das Viereck ist fertig.

Herzliche Grüße,

Willy

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Fangen wir mal mit einem kleinem Tipp an: Ziehe eine Linie von A nach C. Dadurch erhältst du nun 2 Dreiecke in denen du alles berechnen kannst.

Schlag mal deine Formelsammlung auf und such ein wenig :)

Viel erfolg

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Kommentar von Tontey11
20.01.2016, 13:04

So viel weiß ich auch.. Naja danke trotzdem. :/

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Hilfslinie von a nach c zeichnen. Der Winkel alpha ist dann 45 °.

Dann kannst du über die Winkelfunktionen Sin / Cos / Tan alles andere berechnen.

So schwer ist es nun auch nciht.

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Kommentar von Mepodi
20.01.2016, 13:12

Wie kommst du auf 45 grad? der winkel wird nicht halbiert...

deine aussage stimmt nur bei: a=d

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Hier geht es nur um die berechnung von den allgemeinen Dreieck und den rechtwinkligen Dreieck.Die Formeln findest du im Mathe-formelbuch,dass du dir privat im Buchladen besorgen kannst,wie z.Bsp. den "Kuchling".Ohne solch ein Buch kannst´e gleich einpacken !!

Die Formeln mit den Zeichungen,musst du nur noch exakt anwenden können.

Der einfachste Weg ist,wenn du oben und unten je ein rechtwinkliges Dreieck anfügst.dann entsteht ein Rechteck mi der Fläche Ar=hr *br

Die Fläche in deiner Aufgabe ist dann A=Ar - A1 - A2

Hier habe ich das rechtwinklige Dreieck (oben) mit A2 bezeichnet und das rechtwinklige Dreieck unten rechts mit A1 beezeichnet.

Notwendige Formeln aus den Mathe-Formelbuch 

sin(a)=GK/Hy und cos(a)=AK/Hy und tan(a)=GK/AK

Wir müssen nun die notwendigen Winkel aus den Angaben der Aufgabe bestimmen.

Winkel b1 (Beta) ist b1= 180°- Beta=180° - 108°=72°

Das rechtwinklige Dreieck A1 hat somit die Winkel a=72° und 90° und b=18°

Winkel im Dreieck A2 sind a (Alpha)= 90°- 18° - 37°=35°

Mit a=35° und der Seite c=10,5 cm kann man nun br berechnen.

cos(a)=AK/Hy ergibt AK=br=cos(35°) * 10,5 cm=8,6 cm

dies ergibt nun eine Kathete von A1 !!

a+x=8,6 cm hier ist x eine Kathete von den Dreieck A1 also x= 8,6 - 6=2,6 cm

Mit tan(a)=GK/AK ergibt sich die Höhe des Rechtecks hr

GK=hr= tan(72°) * 2,6 cm =8,0 cm 

Fläche des Rechtecks Ar=Hr * br= 8,0 cm * 8,6 cm =68,82 cm^2

Nun muss noch die Fläche der beiden rechtwinkligen Dreiecke berechnet werden und von der Fläche des rechtecks Ar abgezogen werden.

A1= x * hr/2 = 2,6 cm * 8,0 cm/2=10,4 cm^2

A2= br/2 * sin(35°) * c= 8,6 cm * sin(35°) /2 * 10,5 cm =25,897 cm^2

Nun wird die Fläche A=Ar - A1 -A2 berechnet

A=68,82 cm^2 -10,4 cm^2 - 25,897 cm^2 =32,523 cm^2

Prüfe auf Rechenfehler !!

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