Frage von maltereso7, 47

Hilfe! Ich komme bei dieser Integralrechnung nicht weiter?

Wie kann man diese Integralrechnung lösen? Mir fällt kein Ansatz ein. Im Lösungsbuch steht y=4,5*(2-DritteWurzelVon2) = 3,333

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 4

Hallo,

angeregt durch die Antwort von SuperMark ist mir eine einfachere Lösung eingefallen, die ohne die Bildung einer Umkehrfunktion auskommt.

Zunächst einmal ist diese Parabel symmetrisch zur y-Achse. Es reicht also, wenn Du nur die Fläche rechts von dieser Achse berechnest. Es geht ja letztlich nicht um diese Fläche, sondern um die Parallele zur x-Achse, die diese Fläche halbiert. Und sie halbiert diese symmetrische Hälfte ebenso wie die komplette Fläche.

SuperMark hatte vorgeschlagen, die Gerade y=a, bei der a noch bestimmt werden muß, von f(x) abzuziehen und dann diese neue Funktion zu integrieren und zu sehen, für welches a die Fläche von f(x) zwischen den beiden Achsen halbiert wird.

Dazu mußt Du zunächst diese Fläche bestimmen.
Du integrierst F(x)=9x-x³/3 zwischen x=0 und x=3
und kommst auf 27-9=18 FE. Die Hälfte davon ist 9 FE.

Wenn Du es nun machst, wie SuperMark es vorschlägt, hast Du das Problem, daß Du die rechte Integrationsgrenze nicht kennst.

Ich schlage eine Variante vor:

Stell Dir vor, Du drückst die ganze Parabel einfach nach unten, so daß der Scheitelpunkt nicht mehr bei y=9 liegt, sondern bei a, wobei a so beschaffen sein soll, daß die Fläche zwischen der Kurve und den beiden Achsen im ersten Quadranten 9 FE beträgt. Der Vorteil bei dieser Vorgehensweise ist, daß Du die Nullstelle direkt bestimmen kannst;
sie ist nämlich die Wurzel aus a.

Du bildest also die Stammfunktion von f(x)=a-x²; F(x)=ax-x³/3 - das +C lasse ich hier mal weg - und setzt für x die Wurzel aus a ein:

a*√a-√a³/3=9

a*√a=√a³

√a³-√a³/3=(2/3)√a³=9

√a³=27/2

√a=3/(3.Wurzel aus 2)

a=9/(3. Wurzel aus 4)=5,669644725

Die linke Integrationsgrenze, also F(0), ergibt Null - deswegen bist Du hier schon fertig.

Nun mußt Du nur noch bedenken, daß a in diesem Fall der Wert ist, um den Du den Scheitelpunkt gesenkt hast. Die horizontale Linie, die Du suchst, schneidet die y-Achse bei 9-a=3,330355275

Die Horizontale hat also die Gleichung y=3,330355275

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 13

Hallo,

bilde die Umkehrfunktion f^(1)(x)=√(9-x)

Bilde die Stammfunktion und berechne das Integral von 0 bis 9.

Teile das Ergebnis durch 2 berechne das Integral für diese halbe Fläche.

Also F(9)-F(0)=0,5*(F(9)-F(x)) Das Ergebnis aus dem Buch stimmt übrigens

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von HanzeeDent, 10

Die Frage ist doch nach einer Gerade,welche die Fläche im horizontalen teilt:

bestimmtes Integral zwischen -3 und 3 errechnen

int{-3;3}(-x^2+9)=[-1/3x^3+9x]{-3;3}=-9+27-(9-27)=36

Die halbe Fläche muss das bestimmte Integral der Funktion minus der halbierenden Gerade zwischen den Nullstellen sein. 

h: h(x)=-x^2+9-y

x0=sqrt(9-y)

Wegen der Symmetrie zur Vereinfachung ein Viertel von Null bis zur positiven Nullstelle:

9=int{0;sqrt(9-y)}(-x^2+9-y)=[-1/3x^3+(9-y)x]{0;sqrt(9-y)}=
=-1/3(9-y)^(3/2)+(9-y)*(9-y)^(1/2)

Wenn man das ausrechnet, sollte man auf die Lösung kommen, ich hoffe da liege ich nicht falsch

Antwort
von BackSlash405, 19

Ich würde erstmal das ganze Integral ausrechnen. Ich hoffe du weißt wie das geht.

Normalerweise teilt man Integrale mit parallelen zur y-Achse. Da es eine Minusparabel ist, ist sie symmetrisch, also stimmt das ergebnis.

Kommentar von maltereso7 ,

ich weiß nur nicht wie ich auf das Ergebnis komme. Ausrechnen ist kein Problem mir fehlt nur der Denkansatz 

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