Frage von mathe5, 62

Hilfe finde keinen Ansatz?

Antwort
von leonmueller4, 6

Hier die Antwort, ist ein bisschen schwierig, das hier verständlich zu schreiben, ich hoffe du verstehst alles:

Schritt 1:

a) ⇒ b)

zu zeigen: wenn {v1,...vn} eine Basis von V ist, dann ist {v1,...vn} auch ein minimales Erzeugendensystem von V. Nehmen wir also an, {v1,...vn} ist eine Basis von V.Per Definition ist dann {v1,...vn} ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V, also insbesondere ein Erzeugendensystem. Damit ist Aussage b) schon mal zur Hälfte erfüllt und wir müssen noch zeigen, dass {v1,...vn} minimal ist, d. h. wenn man einen der n Vektoren weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.

Widerspruchsannahme: {v1,...vn} ist nicht minimal, d.h. für einen Index        i0 ∈{1,...n} können wir vi0 weglassen und haben mit {v1,..., vi0,...vn} (Hut über vi0, das bedeutet, dass vi0 nicht in der Menge enthalten ist) immernoch ein Erzeugendensystem. Das bedeutet aber, dass sich vi0 als Linearkombination der übrigenVektoren in der Liste schreiben lässt, d.h. es gibt Koeffizienten λ1,...λn ,so dass
vi0 = summe von i=1 bis n (wobei i ungleich i0) λi vi

gilt. Dann gilt aber
summe von i=1 bis n (wobei i ungleich i0) λi vi − vi0 =0,
also für λi0 =1

summe von i=1 bis n λi vi=0, wobei eines der λi ungleich null ist (nämlich λi0 = 1). Das wiederum steht im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Menge {v1,...vn}, die ja vorausgesetzt war (denn es handelt sich um eine Basis). Somit ist die Widerspruchsannahme widerlegt, d. h. {v1,...vn} ist in der Tat ein minimales Erzeugendensystem von V.

Schritt 2: b) ⇒ a)

zu zeigen: wenn {v1,...vn} ein minimales Erzeugendensystem von V ist, dann ist {v1,...vn} eine Basis von V. Nehmen wir also an, {v1,...vn} sei ein minimales Erzeugendensystem von V. Nachdem die Erzeugendeneigenschaft schon erfüllt ist, müssen wir nur noch die lineare Unabhängigkeit zeigen. Widerspruchsannahme: {v1,...vn} ist nicht linear unabhängig, d. h. es gibt Koeffizienten λ1,...λn mit

summe von i=1 bis n λi vi = 0,

wobei mindestens eines der λi ungleich null ist, sagen wir mal λi0 ungleich 0. Dann ziehen wir λi0 vi0 aus der Summe raus und bekommen

summe von i=1 bis n (wobei i ungleich i0) λi vi − λi0 vi0 = 0,

nach Teilen durch (−λi0)

vi0 = 1/λi0 summe von i=1 bis n (wobei i ungleich i0) λi vi

Damit ist also vi0 eine Linearkombination der anderen Vektoren in der Menge{v1,...vn}, d. h. {v1,...vn} bleibt auch dann ein Erzeugendensystem, wenn wir vi0 wegwerfen, im Widerspruch zur Annahme, dass es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt. Also war die Widerspruchsannahme falsch und {v1,...vn} ist somit linear unabhängig, d. h. es handelt sich um ein linear unabhängiges Erzeugendensystem und damit um eine Basis von V.

LG

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