Frage von Hashime2, 52

Hilfe beiMathe theorie?

Was ist die mitternachtsformel?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathe, 6

Mitternachtsformel ist eine Formel, von der du am besten ganz schnell die Finger lässt, wenn du die p,q-Formel gelernt hast. Wenn man sie durcheinander anwendet, gibt es meistens Chaos.

Der Zweck ist bei beiden die Lösung einer quadratischen Gleichung. Bei der Mitternachtsformel bleibt der Faktor vor x² aber drin und wird nicht wegdividiert. Für die Nullstellen hat es keine Bedeutung; sie bleiben dieselben bei jedem a vor x² (außer a=0 als Hinweis für die, die gerade die Griffel spitzen).

Für die, die sie nutzen, heißt es, sie sollten sie jederzeit (auch zu Mitternacht noch) aufsagen können, wenn man sie weckte. Früher schliefen Schüler nämlich um diese Zeit, heute wohl im Allgemeinen nicht.

Das gilt für die p,q-Formel aber eigentlich auch.

Antwort
von xFeatchx, 34

Die "Mitternachtsformel" (umgangssprachlich) oder auch "Allgemeine Lösungsformel" ist da, um quadratische Gleichungen aufzulösen. Dabei werden am Ende meist zwei Werte für x herausgegeben (kann aber ebenfalls Leere Menge oder die gleichen Werte sein).

https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische\_Gleichung#Allgemeine\_L.C3.B6sungsfo...

LG

Antwort
von sachsii, 28

lösung einer quadratischen gleichung der art ax^2 + bx + c = 0 

-> x1= ( -b + wurzel(b^2-4ac) ) geteilt durch 2a

x2=  ( -b - wurzel(b^2-4ac) ) geteilt durch 2a

Antwort
von poseidon42, 18

Bei der "Mitternachtsformel" häufig auch "PQ-Formel" , oder wie sie mein Prof gerne nennt "Mondscheinformel", handelt es sich um eine Lösung der Gleichung der Form:

x^2 + px + q = 0

Die Formel liefert einem die Lösungen für x, welche die obige Gleichung erfüllen. Man kommt auf sie über die quadratische Ergänzung, welche in den Binomischen Formeln ihren Ursprung hat. Exemplarisch führe ich die Herleitung hier kurz vor:

ax^2 + b*x + c = z     ; sei dabei a ungleich 0

ax^2 + b*x + c = z    II - z

ax^2 + b*x + (c - z) = 0   II *(1/a)

x^2 + (b/a)*x + (c - z)/a = 0    II sei nun p = (b/a)   und q = (c - z)/a

---> x2 + px + q = 0    II +(p/2)^2

x^2 + 2*(p/2)*x + (p/2)^2 + q = (p/2)^2    II Bin.Form: (a+b) = a^2 + 2ab + b^2

(x + p/2)^2 + q = (p/2)^2    II - q

(x + p/2)^2 = (p/2)^2 - q     II [...]^(1/2) = Quadratwurzel

x + p/2 = +/- [ (p/2)^2 - q]^(1/2)    II - p/2

x = -p/2 +/- [ (p/2)^2 - q]^(1/2)

Damit erhälst du dann die Menge an Lösungen für x die die Gleichung erfüllt.

Merke das +/- kommt daher, da ja gilt  (-x)^2 = x^2  !!!  .

Exemplarisch an einem Beispiel:

x^2 - 2x + 1 = 1   II -1

x^2 - 2x = 0    ---> p = (-2)    und  q = 0

Einsetzen liefert:

x = -(-2)/2 +/- [ ((-2)/2)^2 - 0 ]^(1/2)

   = 1 +/- [1]^(1/2) = 1  +/- 1

Also lauten die beiden Lösung der Gleichung:

x = 2 oder x = 0

Die Probe liefert:

0^2 - 2*0 + 1 = 1    stimmt für x = 0  !!!

2^2 - 2*2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1    stimmt für x = 2 !!!

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