Frage von Micla7, 41

Hilfe bei trigonometrischen Gleichungen?

Hallo, ich stecke gerade bei 2 trigonometrischen Gleichungen fest und waere seehr dankbar fuer Hilfe

Die 1. lautet: sinx+(sin^2 x/cosx)=0 fuer x zwischen 0 und 360 Grad

Die 2. Gleichung ist: 3 sin^2 x= 2 sin x cos x fuer Element vom Intervall -pi bis +pi

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 34

Ich löse die beiden Gleichungen für dich.

Die erste Gleichung:

             sin² x
sin x + ——— = 0
             cos x

 sin x * cos x       sin² x
—————— + ——— = 0
       cos x            cos x

 sin x * cos x + sin² x
————————— = 0
             cos x

 sin x * (cos x + sin x)
—————————— = 0
             cos x

sin x * (cos x + sin x) = 0

Satz des Nullprodukts:

sin x = 0 ⇔ x = sin⁻¹(0)

Die andere Gleichung:

3 * sin² x = 2 * sin x * cos x
3 * sin² x = 2 * sin x * sin x / tan x
3 * sin² x = 2 * sin² x * 1 / tan x            |:sin²(x)
3 = 2/tan x
tan x = 2/3 ⇔ x = tan⁻¹(2/3)

Jetzt noch die Werte im entsprechenden Intervall bestimmen - fertig! ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von Micla7 ,

Vielen Dank fuer die schnelle Antwort... ich verstehe nur nicht, wie man von tan ⁻¹(2/3) ausgehend die richtigen Loesungen fuer das Intervall -pi bis +pi findet, kannst du mir das bitte sagen?

Kommentar von Micla7 ,

Zur ersten Aufgabe: Aus sinx=0 finde ich die Loesungen 0,180 und 360 Grad. Allerdings stehen im Loesungsbuch auch noch die Loesungen 315 und 135 Grad. Ich verstehe nicht, woher die sich ergeben...

Ergeben sie sich aus cosx+sinx=0 ?

Kommentar von SelfEnergy ,

Ja, aufgeloest nach x erhaelst du ausgehend von tan(x)=-1 dann x=arctan(-1). Eingeschraenkt auf (-90,90Grad) ist der arctan(-1)=-45 Grad.

Jetzt benutzt du noch, dass der tan eine Periode von 180 Grad hat, und fuegst Vielfache von 180Grad zu diesen -45 Grad hinzu, um im angegebenen Definitionsbereich von x zu landen, damit erhaeltst du dann -45+180=135 und -45+360=315 Grad.


Kommentar von gfntom ,

Es gilt allgemein, alle x zu finden, für die gilt

sin(x) = -sin²(x)/cos(x)

ein Teil der Lösungen sind jene x, für die sin(x) = 0 ist.

Für die anderen Lösungen kannst du beide Seiten durch sin(x) dividieren (da sin(x) ja <> 0 ist!):

1 = -sin(x)/cos(x) = -tg(x)

bzw tg(x) = -1

Kommentar von Ahzmandius ,

Man muss hier eine Fallunterscheidung machen, weil sin(x) im Bereich 0-360° nicht bijektiv.

sin x = 0 ⇔ x = sin⁻¹(0)
Antwort
von Ahzmandius, 5

Der Lösungsweg von Willibergi ist sehr gut, bis auf den Schluss.

Hier musst du beachten, dass sin(x)=0 im Bereich 0-360 Grad drei mal die Null trifft.

Bei 0°, bei 180° und bei 360°

Ferner heißt es, dass der Ausdruck:

sin x = 0 ⇔ x = sin⁻¹(0)

Nicht zum gewünschten Ergebnis führt.

Das liegt daran, dass arcsin(x) einen Definitionsbereich von [-1,1] und einen Wertebereich von [-pi/2,pi/2] hat.

Das heißt, wenn du in arcsin(x) 0 einsetzst bekommst du nur x=0 raus, jedoch nicht x=pi und auch nicht x=2*pi.

Antwort
von SelfEnergy, 24

Zur 1. Gleichung: sin(x)=0 ist eine einfache Loesung. Um die weiteren zu finden, schliessen wir diesen Fall aus und finden nachdem wir die Gleichung durch sin(x) geteilt haben

x=arctan(-1)

2. Gleichung: Auch hier sin(x)=0 als eine Loesung. Nach Ausschluss dieser und teilen der Gleichung durch sin(x) erhalten wir 

x=arctan(2/3)


Die eingeschraenkten erlaubten Winkel legen dann fest, welche genauen Werte fuer x durch sin(x)=0 bzw. die arctan-Bedingungen dann ausgewaehlt werden.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community