Hilfe bei Potenzfunktionen, dringend?

... komplette Frage anzeigen

2 Antworten

Die allgemeine Form der Potenzgleichung lautet:

f(x) = a * x^n

(wobei n eine natürliche Zahl ist)

a) Wenn der Graph durch den Punkt (x|y) geht, heißt das für die Funktionsgleichung, dass f(x) = y ist. (Das gilt übrigens für alle Funktionen, nicht nur für Potenzfunktionen.)

Für diese Aufgabe heißt dies:

f(1) = 3

Einsetzen der Funktionsgleichung:

a * 1^n = 3

1^n = 1 für alle natürlichen n, also

a * 1 = 3

und damit

a = 3

also:

f(x) = 3 * x^n  (wobei n ∈ {1, 2, 3, ...})

b) es gibt keine negativen Funktionswerte

Wegen f(1) = a muss also a = 0 oder a > 0 sein.

Für positive x ist f(x) natürlich > 0, da für x > 0 auch x^n > 0 ist

Wir müssen uns also noch den Fall x < 0 ansehen.

Schauen wir uns mal (-x)^n an:

(-x)^n = ((-1) * x)^n = (-1)^n * x^n   (Potenzgesetze)

Falls n gerade ist, ist (-1)^n = +1

Falls n ungerade ist, ist (-1)^n = -1

Damit ist für gerade n:   f(-x) = f(x)

Und für ungerade n:   f(-x) = -f(x)

Weiter solltest du selbst kommen

c) Übersetzen in Formeln:

"Verdoppelt man den x-Wert" -> x wird ersetzt durch 2 * x

"verachtfacht sich der zugehörige y-Wert" -> y wird ersetzt durch 8 * y

Das heißt für f(x) = y:

f(x) = y

f(2 x) = 8 y

Eliminieren von y aus dem Gleichungssystem:

f(2 x) = 8 f(x)

Einsetzen der Funktionsgleichung:

a * (2 x)^n = 8 * (a * x^n)

a * 2^n * x^n =8 * a * x^n

Da dies für alle x gelten muss, gilt es auch für mindestens ein x ≠ 0, damit ist auch für ein x x^n ≠ 0, also können wir beide Seiten durch x^n teilen:

a * 2^n = 8 * a

Wenn a ≠ 0 ist, können wir beide Seiten durch a teilen:

2^n = 8

n = 3

d. h. f(x) = a x^3

Wir müssen noch den Fall a = 0 berücksichtigen - in diesem Fall ist natürlich immer f(x) = 0 und damit f(2 x) = 0 = 8 * 0 = 8 * f(x)

Alle 3 Bedingungen lassen sich allerdings nicht gleichzeitig erfüllen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Iljanaaaaa
13.09.2016, 19:24

Danke! :)

0

Sollen alle Bedingungen gleichzeitig gelten, oder jeweils eine?

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Iljanaaaaa
13.09.2016, 18:27

Nur eine, jeweils eine Funktionsgleichung pro Aufgabe

0
Kommentar von Iljanaaaaa
13.09.2016, 18:48

Also einfach einsetzen? Hast du eine allgemeine Funktionsgleichung für mich?

0