Frage von Biene988, 27

Hilfe bei Matheprüfung aus dem Jahr 2014?

Hey Leute, ich übe gerade für eine Klausur und komme gerade bei einer Aufgabe nicht weiter. Diese habe ich aus der Matheprüfung aus dem Jahr 2014 (Brandenburg). Es handelt sich um Aufg. 1.1 / f. Die genaue Aufgabenstellung hinterlege ich im Anhang.Gegeben ist die Funktionsschar f(x)=(ax+1)*e^(-ax). Die Graphen von G (für die gilt: a=2 und a=-2) schließen eine Fläche oberhalb der x Achse ein. Die Abbildungen findet ihr im Anhang. Die Fläche soll (e-2) FE betragen. Zu ermitteln ist c und eine Gleichung, mit der b berechnet werden kann. Wollt ihr euch die gesamte Prüfung selber mal ansehen, findet ihr diese hier auf der Seite 2:

http://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/fileadmin/bbb/unterricht/pruefungen/...

Mein Ansatz war es, die Stammfunktion von p mit dem Flächeninhalt gleichzusetzen. Für b habe ich dann jedoch -12(e-2) erhalten, was falsch sein muss, da der graph dann nach oben geöffnet wäre.

und c ist meiner Meinung nach 1, da p(x) auch eine Extrempunkt bei E(0/1) hat. Von daher verstehe ich auch nicht, warum c ermittelt werden muss...

Ich hoffe ihr könnt mir für diese Aufgabe einen Ansatz gegen.

MfG

Antwort
von Foxylia, 27

Gegeben:  p(x) = -bx² + c   und der Extrempunkt bleibt bei E (0 | 1)
Gesucht:  c  und Gleichung zur Berechnung von b

Bei quadratischen Funktionen dieser Form gibt c die Verschiebung der Parabel entlang der y-Achse an, d.h. c = 1, da der Extrempunkt bei E(0 | 1) liegt. 

Zur Berechnung einer Fläche unterhalb der Parabel braucht man das Integral der Funktion:
Integral[-bx² + c] = -b/3x³ + cx = -b/3x³ + x  , da c = 1
Das soll dann (e-2)FE betragen, also -b/3x³ + x = e-2
Es fehlen aber noch die Integralgrenzen. Diese sind gleichzusetzen mit den Schnittpunkten der Parabel mit der x-Achse, also 0 = -bx² + 1
Somit sind die Integralgrenzen x1 = -sqrt(1/b) und x2 = sqrt(1/b)      (sqrt = Wurzel).

Zusammengefasst: e-2 = -b/3 * (sqrt(1/b))³ + sqrt(1/b) - (-b/3 * (-sqrt(1/b))³ - sqrt(1/b))

Vereinfacht: e-2 = -2b/3 * (sqrt(1/b))³ + 2sqrt(1/b)

Ich hoffe, ich konnte helfen. Alle Angaben ohne Gewähr ;)

Kommentar von Biene988 ,

Ok, danke erstmal für die Antwort.
Ist es also egal, das ich weiß, dass die Nullstellen von f bei -1/a liegen. Daraus ergeben sich doch Grenzen von -1/2 und 1/2, oder? Wird nicht eine Funktion benötigt, die genau so aussieht, wie die graue fläche oberhalb der x Achse?

Kommentar von Foxylia ,

Ja, richtig. Ich hatte jetzt nirgends gelesen, dass die Nullstellen bekannt sind. Dann ist es natürlich noch einfacher und sqrt(1/b) = 1/2 und -sqrt(1/b) = -1/2

Kommentar von Biene988 ,

Ich verstehe gerade nur nicht  ganz, warum jetzt sqrt(1/b) = 1/2 und -sqrt(1/b) = -1/2 gilt? Müsste die Gleichung nicht wie folgt heißen:
e-2=[1/3bx^3+x] --> mit den grenzen -0,5 und 0,5

Kommentar von Foxylia ,

Da hast du Recht. Aber bei mir waren die Grenzen ja nicht -0.5 und 0.5, sondern -sqrt(1/b) und sqrt(1/b).

Kommentar von Biene988 ,

Hast du mal probehalber berechnet, was dann für b rauskommt?
Ich erhalte b=12(e-2). Das kann doch aber nicht sein. Der Graph, den man so erhält, stimmt nicht mit der grauen Fläche oberhalb der x Achse in der Abbildung überein? Wo ist mein Fehler..?

Kommentar von Foxylia ,

Hmm, also auf b = 12(e-2) komm ich nicht. Allerdings müsste b = 4 sein, wenn man annimmt, dass 0.5 = sqrt(1/b) gilt.
Rechnet man aber e-2 = -2b/3 * (0.5)³ + 2*0.5 , dann komme ich auf b = 3.3806
Irgendwo muss also tatsächlich noch ein Fehler sein bzw. es wurde in der Aufgabe vllt. was übersehen.

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