Frage von fr0zencipe, 37

Hilfe bei Mathe/Physik; Winkel von bestimmten Punkt an Parabel berechnen?

Folgendes Scenario: Ein Wasserstrahl kommt auf der Höhe h=1,2m und der Geschwindigkeit v=3,92m/s aus einem Schlauch. Die Erdanziehungskraft g= 9,81m/s² macht daraus eine Parabel. Der Strahl trifft bei x1= 2,0m den Boden.

Jetzt soll ich den Winkel zur Horizontalen ausrechnen, die die Wasserteilchen an diesem Punkt haben. In der Lösung steht, alpha=50° aber kein Rechenweg.

Meine Idee: Scheitelpunkt SP(0/1,2); Nullstelle(Wasser trifft Boden) NS(2,0/0)

Scheitelform: y=a(x-xs)²+ys Öffnung a=4 Alles einsetzen: y=4x²+1,2

Soweit bin ich bis jetzt, aber nicht sicher ob die Öffnung wirklich 4 ist. Ansonsten weis ich nicht mehr weiter.

Ich hoffe, mir kann wer helfen.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 20

Hallo,

die Angaben können nicht stimmen. Wenn der Strahl den Schlauch in 1,2 m Höhe mit 3,92 m/s verläßt, kommt er keine 2 m weit.

Jeder Anstellwinkel würde die x-Komponente verringern, er träfe also noch früher auf dem Boden auf. Ein Wassertropfen aus dem Strahl bleibt genauso lange in der Luft (wenn der Luftwiderstand vernachlässigt wird), wie er braucht, um aus 1,2 m Höhe senkrecht zu Boden zu fallen. Das ist nach
Wurzel aus (2*1,2/9,81)=0,495 Sekunden der Fall. 0,495*3,92=1,94 m.

Weiter geht's nicht, es sei denn, Du berechnest den Luftwiderstand mit ein, der die Wasserteilchen in diesem Fall nicht bremst, sondern wie ein Flugzeug trägt.

Da Du aber keine Angaben zum Luftwiderstand hast, mußt Du auf physikalische Gesetze pfeifen und die reine Mathematik sprechen lassen.

Die nennt Dir von einer Parabel den Scheitelpunkt (0|1,2) und eine Nullstelle 
(2|0) Mit diesen Angaben kannst Du die Scheitelpunktform erstellen:

f(x)=ax²+1,2

Wenn Du hier die Nullstelle einsetzt, kannst Du a berechnen:

0=4a+1,2

4a=-1,2

a=-0,3

Die Funktion lautet also f(x)=-0,3x²+1,2.

Um den Winkel zwischen x-Achse und Funktionsgraph bei x=2 zu bestimmen, setzt Du x=2 in die Ableitung f'(x)=-0,6x ein.

f'(2)=-1,2

Das ist der Tangens des gesuchten Winkels. Den Winkel dafür findest Du über den Arkustangens:

arctan (-1,2)=-50,19°. Der Winkel oberhalb der x-Achse wäre dann der Scheitelwinkel, also 50,19°. Auch dieser Winkel gehört zu dem Tangens -1,2.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von fr0zencipe ,

Hi. Danke für die Antwort, ich glaub ich kapiers jetzt. Ich hab vorher noch nie arctang hergenommen. Dass der strahl 2m weit kommt liegt daran, dass ich gerundet hab wegen gültigen ziffern und so.

Kommentar von Willy1729 ,

Da hast Du aber ein bißchen viel gerundet. Mit den richtigen Zahlen verändert sich der Winkel ein wenig, die Rechnung funktioniert aber genauso - Du mußt nur die korrekten Zahlen einsetzen.

a ist dann -0,319 (bei Nullstelle x=1,94) und nicht -3.

Entsprechend verändert sich die erste Ableitung und f'(1,94).

In der Lösung wurde aber noch mehr gerundet. Alpha hat mehr als 51° (von wegen 50°).

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von fr0zencipe ,

Eine Sache noch: Wie bist du auf diese Ableitung f'(2) =-1,2 gekommen?

Kommentar von Willy1729 ,

f'(x)=-0,6x 2*(-0,6)=-1,2

Antwort
von JTR666, 14

Die Ableitung gibt dir die Steigung an jedem Punkt.
Jetzt ist ja bekanntlich der Tangens aus deinem Winkel die Steigung.
tan(alpha) = a wobei a die Steigung (wegen der Tangenten t(x) = ax + b) und alpha der Winkel ist, in welchem die Tangente die x-Achse schneidet.
Jetzt ziehst du bei tan(alpha) = a einfach auf beiden Seiten den arctan, also die Umkehrfunktion des Tangens, und erhältst alpha = arctan(a)
(Du hast zunächst arctan(tan(alpha)) auf der linken Seite stehen, aber arctan und tan heben sich gegenseitig auf, sodass du nur noch alpha auf der linken Seite stehen hast.)

Somit ist der Winkel mit dem deine Tangente die x-Achse schneidet arctan(f´(x)).

Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)

JTR

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