Frage von minefun, 18

Hilfe bei Mathe Aufgabe(Integralrechnung)?

Hallo,

Wir hatten über die Ferien einen Lehrerwechsel, unser neuer Lehrer hat andere Schreib und Ausdrucksweisen, die ich bis jetzt nicht gänzlich erfasst habe. Ich stehe vor folgender Aufgabe: Berechnen Sie Mithilfe des Rechners den Flächeninhalt den der Graph f(x)=In(x) mit der x-Achse einschließt über folgenden Intervallen bsp. Nr a (0,5;1).

Ich hätte nun die Ableitung gebildet 0,5*In(x)^2. schätze das ist falsch. was bedeutet das In(x)? Danke

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 3

Du sollst den Flächeninhalt zwischen x-Achse und Graph von ln(x) zwischen 0,5 und 1 berechnen.

Der ln(x) ist der natürliche Logarithmus, der Logarithmus zur Basis e.

Da du die Fläche, die der ln mit der x-Achse einschließt, berechnen sollst, musst du integrieren.

Durch partielle Integration ergibt sich: ∫ ln(x) dx = -x + x*ln(x)

Sei f(x) = ln(x).

Um die Fläche zu berechnen, stellst du folgenden Ansatz auf:

      1
A = ∫ f(x) dx
     0,5

Damit lässt sich der Flächeninhalt berechnen:

      1
A = ∫ f(x) dx = F(1) - F(0,5) = (-1 + 1 * ln(1)) - (-0,5 + 0,5 * ln(0,5) = -0,15
     0,5

Der Flächeninhalt ist negativ, da der gesuchte Bereich offensichtlich unter der x-Achse, sprich im negativen y-Bereich liegt.

Somit schließt der Graph von ln(x) eine Fläche von etwa 0,15 LE mit der x-Achse ein.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 5

Was ln bedeutet, weißt Du ja jetzt. Da Du aber den Flächeninhalt ausrechnen sollst, die eine gegebene Funktion mit der x-Achse einschließt, mußt Du nicht ableiten, sondern integrieren.

Ableitung wäre übrigens f'(x)=1/x
Das Integral von ln(x) ist x(ln(x)-1)  [+C].

[An dieses Ergebnis kommst Du, indem Du Integral(1* ln(x) dx) per partieller Integration löst. Formel: Integral(f' * g)=fg - Integral(fg').

Wobei f'=1 und g=ln(x) gesetzt wird.]

Antwort
von hyp3rbolicus, 8

logarithmus zur basis e(eulersche zahl) wird als natürlicher logarithmus bezeichnet und mit ln abgekürzt (logarithmus naturalis)

Antwort
von ETechnikerfx, 7

Google hilft doch immer:

Der natürliche Logarithmus

https://www.google.de/#q=ln%28x%29&gws_rd=cr

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