Frage von mathe5, 56

Hilfe bei Mathe Aufgabe lineare Algebra?

Brauche dringend Hilfe bei der Aufgabe 2c und Aufgabe c Danke

Antwort
von eddiefox, 5

Hallo!

V1 ist kein Vektorraum:

Sei X ∈ R³  mit den Koordinaten (1;0;0), also X ∈ V1 : 1+0+0 = 1 (ok)

Sei Y ∈ R³ mit den Koord. (1;2;-2) , also Y ∈ V1 : 1+2+(-2) = 1 (ok)

Der Vektor X+Y hat die Koordinaten (2;2;-2), aber X+Y ∉ V1: 2+2-2 = 2 ≠ 1.

V2 ist Vektorraum. Er wird aufgespannt von den Vektoren mit den Koordinaten (t;t;t), t ∈ R. (Bei Addition und Multiplikation mit einem Skalar bleibt die Gleichheit der Koordinaten erhalten).

V3 ist kein Vektorraum:

X mit den Koordinaten (0.1.1) ∈ V3 : 0*(1+2*1) = 0 (ok)

Y mit den Koordinaten ((1;-2;1) ∈ V3 : 1*(-2+2*1) = 0 (ok)

Aber X+Y hat die Koordinaten (1;-1;2) und 1*(-1+2*2) = 3 ≠ 0, also X+Y ∉ V3.

Grüsse

Kommentar von eddiefox ,

Ein schnelles Argument bei V1 wäre: V1 enthält nicht den Nullvektor.

0+0+0 ≠ 1, aber jeder Vektorraum enthält den Nullvektor.

Wenn man zeigt, das ein Raum R kein Vektorraum ist, genügt ein Gegenbeispiel (wie z.B. zwei spezielle Vektoren liegen in R, aber ihre Summe nicht, oder X liegt in R, aber aX liegt nicht in R)

Antwort
von eddiefox, 4

Als Hilfe für c):

f1 und f2 sind linear unabhängig:

af1(x) + bf2(x) = 0 <=> a(5x²+x) + b(2x+3) = 0 <=> 5ax² + (a+2b)x + 3b = 0

Setze x = 0, => b = 0. Es bleibt (*) 5ax² + ax = 0; ableiten der Gleichung (*) nach x ergibt:

10ax + a = 0 <=> a (10x+1) = 0 für alle x, also folgt a = 0.

Also sind f1 und f2 linear unabhängig in Abb(R,R) mit den definierten Operationen. (Wir haben gezeigt, dass aus af1 +bf2 = 0 folgt: a=b=0)

Ähnlich vorgehen für f1, f2, f3.

Grüsse

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