Frage von albinoguitar, 24

Hilfe bei Kurvenableitung?

Servus miteinander :)

Wir stehen beim Lernen vor folgendem Problem.

Eine Nockenwelle dreht sich gleichförmig mit n = 3000 U/min und treibt ein Federventil an. Geg.: s(phi) = 1/2 * h * [1-cos(2phi)] ; h = 1cm,

s(phi) beschreibt den Hubweg des Federventils.

(Ergebnisse haben wir gegeben. Schreibe ich in eckigen Klammern dahinter. Omega ersetze ich hier jetzt mal durch "w")

Gesucht sind

  • Ventilgeschwindgkeit [v(phi) = h * w * sin(2phi)]
  • Ventilbeschleunigung [a(phi) = 2h * w² * cos(2phi)]
  • maximale Ventilgeschwindigkeit [3,14]
  • maximale Ventilbeschleunigung [1974]

Jetzt zu unseren Ansätzen:

Die Funktion ist ja relativ simpel. Je nach dem Wert für pi nimmt cos(2phi) eine Zahl zwischen 0 und 2 an, was dazu führt, dass das Ventil eben gar keinen Hub bekommt bzw. einen Maximalhub von h = 1cm.

Weiterhin ist natürlich klar, dass v = s' und a = s'' .. es handelt sich also lediglich um zwei Ableitungen, um den ganzen Spaß zu beschreiben. In den letzten Aufgabenteilen wird dann eben die jeweilige Ableitung gleich 0 gesetzt bzw. noch s''' für den Ruck = 0 gebildet, um die maximale Beschleunigung zu erhalten.

Das spezifische Problem besteht jetzt in unserer mathematischen Unkenntnis/Dummheit :D

Unser erster Versuch endete in den Ableitungen: s'(phi) = h * phi' * sin(2phi) und s''(phi) = 2h * phi'' * phi' * cos(2phi) .. beides Quatsch und hier entsteht unsere erste Frage: Wieso??

Zweiter Ansatz war das Ersetzen von 2phi durch (2 * w * t) und dann alles nach t abzuleiten. Damit kommt man (so wie wir das momentan sehen) auf die richtigen Lösungen. Damit entsteht die zweite Frage: "Was zum Teufel haben wir da eigentlich getan? Können wir einfach nach t ableiten und dann jedes mal pro Ableitung um 2 * w erhöhen? Wenn ja, wieso?

Schließlich hängen wir uns gedanklich in den letzten beiden Aufgaben total auf, weil wir inzwischen nicht mehr mitkommen, wie und wo wir die Umdrehungen einsetzen und nach was wir letztlich auflösen müssen.

So - langer Text, wenig Sinn, ich hoffe ihr verzeiht. Es wäre cool, wenn jemand ein etwas ausführlicheres statement dazu abgeben könnte! Wir sind gerade auf so einem Level zwischen prinzipieller mathematischer Stumpfheit und zu großer Denkblockade durch zu langes Lernen angekommen und mit jedem unserer Gedankengänge erscheint es noch komplizierter^^ also bitte idiotenfreundliche feedbacks ;)

Vielen Dank schon mal und schönes Wochenende!

Antwort
von poseidon42, 15

Ist eigentlich recht simpel:

Sei s(x) die Funktion des Hubweges.

Sei phi(t) der Winkel zum Zeitpunkt t, so folgt also:

s(phi(t)) ist der Hubweg zum Zeitpunkt t. 

Ableiten nach der Zeit t liefert dann ja schließlich mit der Kettenregel:

s'(phi(t))*phi'(t) = ds(phi(t))/dt

Bedenke: v = ds/dt

Kommentar von albinoguitar ,

Servus und bereits vielen Dank für die Antwort! Es ist definitiv etwas klarer geworden aber es besteht noch folgender Gedankenblitz: 

Vereinfachtes Beispiel mit r(t) = r * cos * (phi(t))

Erste Ableitung per Kettenregel: 
Innere Ableitung: phi'(t) (entspricht "omega", hier "w") 
Äußere Ableitung: r * (-sin) (...) 

also r'(t) = r * (-sin) * w  (phi(t)) 

Jetzt kommt das Problem mit der zweiten Ableitung: 
Innere Ableitung ist klar, da sie gleich bleibt: phi'(t) = w 

Äußere Ableitung: 
Gedankengang: r ist konstant und wird nicht abgeleitet. negativer Sinus wird zu negativem Cosinus. Klammer bzw. innere Ableitung wird natürlich übernommen. 

Wiiiiieso wird "w" nicht abgeleitet und dadurch zu alpha? 

Sonst hätte man ja r''(t) = r * w * "alpha" * (-cos) (phi(t))
Stimmt aber natürlich nicht. 

Omega wird hier als konstante behandelt, da sie entweder nicht von t abhängig ist (ist aber Quatsch?) oder da in der äußeren Ableitung gar nicht nach t abgeleitet wird. 
Heute kamen wir auf den Ansatz, dass abgeleitet wird indem man rechnet r'(t) = außen: dr/dphi innen: dphi/dt (hoffe, das macht Sinn).

Das ganze haben wir aber nie gelernt und irgendwie ist es auch nicht greifbar für mich und meine Lerngruppe. Wir bräuchten da ein allgemein gültiges Gesetz oder ein Muster. Wir wollen das natürlich unabhängig von der Aufgabe, von den Konstanten und Variablennamen verstehen und auch auf jede erdenkliche Ableitung übertragen können.. Momentan ist es aber bei uns nur so ein Gefühlsrechnen/Zielrechnen nach Lust und Laune. In Mathe leitete man immer nur nach "x" ab und dann ist Schluss - verunsichert hier aber ungemein.. 

 

Kommentar von poseidon42 ,

Die Idee bei der Kettenregel ist die Folgende:

Betrachte den Differentialquotienten für f(g(x))

-->(f(g(x)) - f(g(x(0)))/(x - x(0))

Nun ist f ja nicht direkt von x abhängig, sondern noch über g verknüpft, daher hat man folgende Idee:

(f(g(x)) - f(g(x(0)))/(x - x(0)) *(g(x) - g(x(0)))/(g(x) - g(x(0)))

= (f(g(x)) - f(g(x(0))) / (g(x) - g(x(0)))  * (g(x) - g(x(0)))/(x - x(0))

und dann falls g(x) -> g(x(0)) für x -> x(0) folgt dann damit:

( f(g(x)) )´ = f´(g(x)) * g´(x)

Man kann das auch symbolisch machen indem man schreibt:

df/dx = df/dx  *dg/dg = df/dg * dg/dx


Bei der Ableitung ist es unglaublich wichtig zu beachten, was von was abhängig ist, da ansonsten die Ableitung sehr schnell falsch werden kann, hier ein Beispiel aus der Physik:

p = m*v  

wenn jetzt die Geschwindigkeit sich mit der Zeit ändert gilt dann:

p(t) = m*v(t)

Damit lautet die Ableitung:

p´(t) = m*v´(t) = m*a(t) = F(t)

(Newtonsche Axiome und Gesetze)

Wenn jedoch m ebenfalls von der Zeit abängt (wie zum Beispiel bei einer Rakete) so folgt:

p(t) = m(t)*v(t)

und damit

p´(t) = m´(t)*v(t) + v´(t)*m(t) = F(t)  (Produktregel)

die Unterschiede sind sofort ersichtlich.


Also wenn wir mal dein Beispiel betrachten, dann gilt ja:

r(t) = r*cos(phi(t))     mit  phi(t) = w*t

wenn wir annehmen, dass r und w Parameter sind und damit unabhängig von t, so gilt:

r´(t) = (r*cos(phi(t))´ = r*(cos(phi(t))´ = r*cos´(phi(t)) * phi´(t)

nach der Kettenregel. Es gilt dann:

cos´(x) = -sin(x)

und

phi´(t) = w

Einsetzen liefert dann ja:

r´(t) = r*(-sin(phi(t)) *w

die Zweite Ableitung folgt dann analog:

r´´(t) = -w*r (sin(phi(t))´

mit phi´(t) = w   und  sin´(x) = cos(x)

---> r´´(t) = -w²*r *cos(phi(t))

Da zuvor nicht explizit angegeben wurde, dass w oder r von der Zeit t abhängen, können wir annehmen, dass diese unabhängig sind von t.


Nur um mal zu zeigen was wäre wenn gelten würde:

r = k(t)    und  w = w(t)   gilt:

--> phi(t) = w(t)*t

--> r(t) = k(t)*cos(phi(t))

Bilden wir nun mal die erste Ableitung:

r´(t) = k´(t)*cos(phi(t)) + k(t)*(cos(phi(t)))´   (nach Produktregel)

mit   (cos(phi(t)))´ = cos´(phi(t)) * phi´(t)   (nach Kettenregel)

und  cos´(x) = - sin(x)

und  phi´(t) = w´(t)*t + w(t)*1   (nach Produktregel)

folgt dann wenn wir alles einsetzen:

r´(t) = k´(t)*cos(phi(t)) + (-sin(phi(t))*(w´(t)*t + w(t))*k(t)

und wir sehen sofort für k = const und w = const folgt dann:

r´(t) = -w*k´*sin(phi(t))



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