Frage von HundeBabyLover, 47

Hilfe bei Höhen in Geometrie?

Ich muss ein Dreieck konstruieren mit den Angaben: c=6cm ; Gamma=55°; ha=4,5cm und beschreiben wie ich vorgegangen bin. Wie funktioniert diese Aufgabe?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 13

Hallo,

Du fängst natürlich mit der Seite c (grün) an. An den Punkten A und B legst Du jeweils Winkel von 35° an. Wo sie sich schneiden, ist der Mittelpunkt M eines Kreises mit dem Radius MA=MB (hellbraun). Der Winkel AMB hat dann genau 180°-(2*35°)=110°. Jeder Winkel, der nun von A zu irgendeinem Punkt auf der Kreisperipherie und weiter zu B führt, hat die halbe Größe dieses Mittelpunktwinkels, nämlich 55°. Irgendwo auf diesem Kreis liegt also der gesuchte Punkt C mit dem Winkel Gamma=55°.

Nun schlägst Du um A einen Kreis mit einem Radius von 4,5 cm (blau). Irgendwo auf diesem Kreis liegt der Höhenfußpunkt der Höhe, die von Punkt A aus auf die Seite a gefällt wird.

Da die Höhe mit der Seite a einen rechten Winkel bildet, muß die Seite a die Tangente von Punkt B aus an diesen zweiten Kreis sein, denn eine Tangente liegt immer rechtwinklig zum Kreisradius. Die Tangente bildest Du, indem Du einen dritten Kreis (rot) um den Mittelpunkt der Seite c ziehst mit dem Radius c/2=3 cm. Du bekommst so einen Thaleskreis. Immer wenn Du Punkt A mit einem beliebigen Punkt P auf der Kreisperipherie verbindest und von P aus wieder eine Linie zu B ziehst, treffen sich die beiden Linien am Kreis in einem Winkel von 90°.

P ist der Schnittpunkt dieses Thaleskreises und dem Kreis um A mit dem Radius von 4,5 cm, denn der gesuchte Höhenfußpunkt hat einen Abstand von 4,5 cm zu A.

Der Schnittpunkt endlich zwischen der Verlängerung der Strecke BP und dem ersten Kreis um M mit dem Radius MA=MB ist Punkt C.

Ich lade Dir eine Konstruktionsskizze hoch, auf die sich die Farbangaben beziehen.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Oubyi, 11

Ich starte mal einen Versuch, indem ich mich -zig Jahre zurück erinnere.
Also schau einfach mal, ob Du damit was anfangen kannst.

Zeichen die Seite a erstmal als Gerade, also ohne "Eckpunkte".
Darauf - im Rechten Winkel - die Höhe ha = 4,5cm.
Damit hast Du den Punkt A festgelegt.
Um diesen Punkt schlägst Du mit dem Zirkel einen Kreis von c=6cm und erhältst im Schnittpunkt mit a den Punkt B.
Jetzt kannst Du mit dem Geodreieck an a den Winkel Gamma = 55° antragen, sodass der recht Schenkel, also b, den Punkt A (s.o) trifft.
Fertig.
Oder?
Sorry für die laienhafte Ausdrucksweise.

Kommentar von Willy1729 ,

Geht auch - allerdings zählt es nicht als saubere Konstruktion, wenn Du mit Deinem Geodreieck so lange auf der Seite a entlangfährst, bis der 55°-Schenkel den Punkt A trifft.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Oubyi ,

Ok, das wusste ich nicht.
Ich bin mir recht sicher, dass wir das noch durften, ist allerdings auch schon -zig Jahre her.
Gerade erinnere ich mich allerdings auch an Aufgaben, in denen es hieß: "Konstruiere mit Lineal und Zirkel".
Und DA ist wohl Deine Konstruktion gefragt, die ich sehr lehrreich finde, für die mir aber inzwischen leider das nötige Wissen gefehlt hätte.

Kommentar von Willy1729 ,

Die Sache mit dem Thaleskreis ist bei solchen Aufgaben praktisch, bei denen der gegebene Winkel sozusagen in der Luft hängt. In diesem Fall legst Du - wie beschrieben, über der Mitte der gegebenen Seite einen doppelt so großen Winkel an, der dann der Mittelpunkt eines Kreises ist, in dem diese Seite eine Sehne ist. Jeder Winkel über diesem Bogen ist dann halb so groß wie der Mittelpunktwinkel. Ist die gegebene Strecke der Durchmesser des Kreises, sind die Winkel über dem Bogen immer rechte Winkel (Thaleskreis).

Deine Methode führt natürlich schneller zum Ziel, wird aber nicht von allen Lehrern akzeptiert.

Herzliche Grüße,

Willy

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