Hilfe bei Funktionsgleichung 3. Grades?

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6 Antworten

Mit den x-Werten,die in der Aufgabe gegeben sind P1 (2/0) u.Ps (1/-2)

ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit 4 Variablen,was man mit einen Graphikrechner lösen kann.Mit den 4 Gleichungen,ergibt sich folgendes System

1. 8 *a3 +4 *a2 +2 *a1 + 1 *ao =0

2. 1 *a3 +1 *a2 +1 *a1 +1 *ao= - 2

3. 3 *a3 +2 *a2 +1 *a1 + 0 *ao=0

4. 6 *a3 +2 *a2 +0 *a1 +0 *ao=0 

hier sind dann a3,a2,a1 und ao die gesuchren Variablen,die im Rechner meist mit x,y,z und d angegeben sind

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Die allgemeinen Gleichungen sind:
ax³ + bx² + cx + d = y
3ax² +2bx +c        = y'
6ax + 2b               = y''

Die Punkte kann ich in die Originalgleichung einsetzen, den Sattelpunkt in y' und y'' (beides gleich Null).

I)    8a + 4b + 2c + d  =  0
II)    -a +   b -    c + d  =  2
III)   3a -  2b + c          =  0
IV) -6a + 2b                =  0

Damit lassen sich die vier Größen ziemlich leicht berechnen. 
Es sind lauter Brüche.
Ich verwende immer das Additionsverfahren, weil es mir einfacher vorkommt als der gestrenge Gauß-Formalismus, der ja mit aller Gewalt von links nach rechts arbeiten will.
Das ist etwas für Rechenmaschinen.

Man könnte die Parameter aber auch bei Gauß-Jordan einsetzen.

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Kommentar von Mellchen1
21.01.2016, 00:31

Wie sind sie auf die Minus in den Formeln gekommen? 

1

"und f''(0)"
Meintest du f''(1)=0?
Denn dass weißt du ja.

Außerdem kannst du f(2) sowie f(1), f'(1) und f''(1) ja (in Abhängigkeit von a,b,c,d) berechnen.
Das setzt du dann mit den entsprechenden Werten gleich und erhälst ein LGS.

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Solche Aufgaben sind umfangreich und man muss sich präzise an die Vorgehensweise halten,sonst geht´s schief !!

gegeben ; P1 (2/0) und Ps(1/-2) ausserden ist ein Sattelpunkt ein besonderer Wendepunkt,wo die Tangente waagerecht verläuft,also paralel  zur x- Achse

Lösung ist _ y=f(x)=2 *x^3 -6 *x^2 +6 *x -4

allgemeine Form y=a3 *x^3 +a2 *x^2 +a1 *x +ao

Wir haben hier 4 Unbekannte a3,a2,a1,und ao und brauchen nun 4 Gleichungen,sonst brauchen wir hier erst gar nicht anfangen zu rechnen.

2 Gleichungen liefern die 2 Punkte und den Rest die Ableitungen

1. y1=0=a3 *x1^2 + a2 *x1^2 *a1 *x1 +ao dies ist P1 2/0 also x1=2 und y1=0

2. y2=-2= a3 * x2^3 + a2 *x2^2 +a1 *x2 +ao Punkt Ps(17-2) x2=1 undy2=-2

3. y´(x)=3 *a3 *x^2 +2 *a2 *x +a1

4, y´´(x)=6 *a3 * x +2 *a2

5. y´´´(x)= 6 * a3

Wir haben nun 4 Unbekannte und dfür 4 gleichungen.der rest ist nur noch Rechnerei     

bedingung "Wendepunkt" f´´´(xw)=0 und f´´´(xw) ungleich Null

Bedingung "Sattelpunkt" f´´´(xs)=0 und f´(xs)=0 und f´´´´(xs) ungleich Null

4.Sattelpunkt y´´(x)=0=6 *a3 *x +2 *a2 ergibt a2= -6/2 *a3=- 3 *a3

3.Sattelpunkt y´(xs)=0=3 *a3 *x^2 + 2 *a2 *x +a1  mit xs=1

a1=  -3*a3-2*a2=-3*a3+6*a3=3 *a3 ergibt a1=3 *a3

Nun die 2 gleichungen mit den 2 Punkten P1 und Ps

1. y1=0=a3 *x1^3 -3 *a3 *x1^2+3 *a3 *x1 +ao mit x1=2 ergibt sich ao=- 2 *a3

2. y2=-2=a3*x1^3 -3*a3 *1^2+3*a3*1 - 2 *a3 hier ist x2=1 Ps(17-2)

ergibt a3=2  a2=- 3 *2= - 6 und a1=3 *2= 6 und ao= - 2 *a3=-2 *2 = -4

eingesetzt in y=a3 *x^3 +a2 *x^2 +a1 *x +ao

Lösung ist dann y)f(x)=2 *x^3 - 6 *x^2 + 6 *x - 4

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allgemeine Form: f(x)=ax³+bx²+cx+d

erste Ableitung: f'(x)=3ax²+2bx+c

zweite Ableitung: f''(x)=6ax+2b

Einsetzen ergibt 4 Gleichungen:

f(2)=0: 8a+4b+2c+d=0

f(1)=-2: a+b+c+d=-2

f'(1)=0: 3a+2b+c(+0d)=0

f''(1)=0: 6a+2b(+0c+0d)=0

Jetzt nach dem Gaußschen Verfahren a, b, c und d bestimmen und in die allgemeine Form einsetzen.

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y=ax³+bx²+cx+d

f(2)=0   also 0=8a+4b+2c+d    

f(1)=-2

f '(1)=0

f " (1)=0

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