Frage von gutefrage1817, 79

Hilfe bei exponentielle Abnahme?

Ich schaffe die Aufgabe einfach nicht und würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte und spart euch unnötige Kommentare, kann vom Thema fast alles außer diese Aufgabe: Bei einem gut isolierten Kessel beträgt der Abfall 5% pro 30 min.
Wie lange dauert es, bis seine Temperatur von 80 auf 20 Grad Celsius abfällt?

Danke im Voraus!

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 30

Ich lasse e beiseite, wenn ich kann. Es macht eine Rechnung nur umständlicher.
Wachstumformel: y = c a^n                 (1000 Methoden, das aufzuschreiben)
y Endwert         c Anfangswert        n Perioden (halbe Stunden)
a Wachstumsfaktor:  a = 1 ± p/100         p Prozent      (Minus bei Abnahme)

20 = 80 * 0,95^n

Teure Taschenrechner schaffen das mit solve n unmittelbar.
(Es kommen 27 halbe Stunden heraus.)

Ansonsten muss man halt logarithmieren:
0,95^n = 1/4
        n = log 0,25 / log 0,95


Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 33

f(t) = 80 * e ^ (ln(1 - 5 / 100) / 30 * t)

t = Zeit in Minuten

ln(...) = logarithmus naturalis (auf jedem Taschenrechner zu finden der etwas taugt.)

e ^ (...) = Exponentialfunktion

--------------------------------------------------------------------------------------------------

t willst du wissen -->

20 = 80 * e ^ (ln(1 - 5 / 100) / 30 * t) | : 80

1 / 4 = e ^ (ln(1 - 5 / 100) / 30 * t) | ln(...)

ln(1 / 4) = ln(1 - 5 / 100) / 30 * t | : (ln(1 - 5 / 100) / 30)

t = ln(1 / 4) / (ln(1 - 5 / 100) / 30)

t = 810.8 Minuten


810.8 Minuten sind 13.513 Periode Stunden

0.513 Periode * 60 Minuten = 30.8 Minuten

0.8 * 60 Sekunden = 48 Sekunden

Nach 13 Stunden 30 Minuten und 48 Sekunden ist die Temperatur auf 20 ° C abgesunken.

Kommentar von gutefrage1817 ,

Dankeschön! :D

Kommentar von DepravedGirl ,

Gerne :-)) !

Antwort
von fjf100, 13

Dies ist die selbe Aufgabe,wie beim radioaktiven Zerfall.

die Differentioalgleichung lautet hier nur dt + t * a * dx=0 das ist die Gleichgewichtsbedingung dx ist die Zeit und t ist die Temperatur.

Lösung der Dgl ist dt= t *- a * dx ergibt dt/t = -a * dx integriert ergibt

ln(t)=-* a *x ergibt t=e^(-a *x) + C ergibt t = e^c * e^(-a*x) mit e^c=C

ergibt sich t=C * e^(-a *x) hier ist C die Anfangsbedingung to=80°

t=to * e^(-a *x)  a ergibt sich aus der Aufgabe to * (5%/100% * 30 min)

dies ist der Wert a=5/(100 *30 min)=1,6666 * 10^(-3)

nun haben wir t(x) die Temperatur t als Funktion der Zeit x 

t(x) = to * e^(- 1,666*10^-3 *x)  mit t=20° und to=80° ergibt sich

20°/80°=e^(1,66 *10-3 *x ergibt (ln(20/80)) / - 1,666 *10^-3 = x =832,109 min

man kann nun Proberechnungen durchführen ,um die Formel zu testen.

t(30 min)=80° * e^(-1,666 *10^-3 * 30 min)=76,098°

Dies kann man leicht überprüfen mit t=80°*5%/100%=4° fällt in 30 min um 4° von 80° auf 80°-4°=76°

HINWEIS : Die Differenz von 0,098° ergibt sich,weil natürlich dx extrem klein ist und 30 min dazu sehr groß !!

Antwort
von fjf100, 6

Wenn die Temperatur sprunghaft sich ändern soll,also nicht kontinuirlich,dann ergibt sich bei dieser Aufgabe eine geometrische Folge !!

Formel a * q^n  a1=80°             80°*5%/100%=0,05 *80°=4° 80°-4°=76

a2=76 a3=72,2° und a4=68,59° und a5=65,1604° hieraus ergibt sich               q =a(n+1) / a(n)=76°/80°=0,95

an=a1 *q^n ergibt q^n=an/a1 und daraus n=lg(an/a1) /lg(q) n=lg(20/80)/lg(0,95) =27,0268

da  n =30 min ist ergibt sich t=27,0268 *30 min=810,80 min

man kann auch n=ln(20/80) /ln(0,95) =27,0268 verwenden

siehe Mathe-Formelbuch Logarithmensysteme a^x=b ergibt x=lg(b)/lg(a) oder  x=ln(b)/ln(a)

HINWEIS : Weil n=27,0268 ist,geht die Reihe nicht glatt auf und das letzte an ist nicht exakt eine Folge des 30 min -Sprungs und somit nicht exakt

besser wäre 80° * 0,95^27=20,025727° dann wäre n=27  

Antwort
von ddd321, 27

Ich würds so machen: f(x)=f(0)*e^k*t
f(0)=80; k=-0.05 (Minus, weil Abnahme)
Also: f(x)=80*e^(-0.05*t)
Und dann f(x)=20
Also: 20=80*e^(-0.05*t)...und dann nach t auflösen!

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