Frage von HanzeeDent, 19

Hilfe bei DGLS?

Zeigen Sie, dass quantenmechanische Bindungszustände in einem eindimensionalen Potential V(x) stets nicht-entartet sind. Nehmen Sie an, dass zwei Wellenfunktionen Psi1,2(x) dieselbe Schrödingergleichung

-hstrich^2/(2m)*Psi''(x)+V(x)psi(x) = E(x)

lösen.

Also ich nehme jetzt mal an, dass beide Wellenfunktionen unabhängige Lösungen zum gleichen Eigenwert sind. Damit lässt sich ein Differenzialgleichungssystem aufstellen. Wie fahre ich fort?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von kreisfoermig, 6

Angenommen, Ψ₁, Ψ₂ ∈ L²(ℝ)\{0} seien nicht triviale C² Lösungen zu T(Ψ) = E·Ψ, wobei T = –ħ²/2m · (∂/∂x)² + V. Zu zeigen: Ψ₁, Ψ₂ seien linear unabhängig.

Betrachte zunächst [Ψ₁,Ψ₂] := Ψ₁(pΨ₂) – (pΨ₁)Ψ₂ = Ψ₁Ψ₂´ – Ψ₁´Ψ₂. Es gilt

–ħ²/2m·[Ψ₁,Ψ₂]´ = –ħ²/2m ·(Ψ₁Ψ₂´´ – Ψ₁´´Ψ₂
+ Ψ₁´Ψ₂´–Ψ₁´Ψ₂´)
= –ħ²/2m·(Ψ₁Ψ₂´´ – Ψ₁´´Ψ₂)
= Ψ₁(TΨ₂–VΨ₂) – (TΨ₁–VΨ₁)Ψ₂
= (E–V)(Ψ₁Ψ₂–Ψ₁Ψ₂)
= 0.

Folglich gilt [Ψ₁,Ψ₂]´ = 0 und damit [Ψ₁,Ψ₂]=C für eine Konstante C. Da Ψ,Ψ´,…→0 für |x|→∞, so gilt C=[Ψ₁,Ψ₂] →0 für |x|→∞ und damit C=0. Darum gilt nach Umformung von Ψ₁Ψ₂´ – Ψ₁´Ψ₂ = [Ψ₁,Ψ₂] = C = 0 erhält man

Ψ₁´/Ψ₁ = Ψ₂´/Ψ₂

auf den offenen Bereichen, wo Ψ₁≠0 und Ψ₂≠0 (notwendigerweise übereinstimmend). Aus der letzten Gleichung folgt:

log|Ψ₁| = log|Ψ₂|+Konst

Also gilt auf offenen Bereichen, wo Ψ₁≠0 und Ψ₂≠0, dass  |Ψ₁| = K₀·|Ψ₂| für eine Konstante K₀ (abhängig nur von dem Bereich). Darum gilt o. E. Ψ₁=K₁·Ψ₂ für eine Konstante K₁, auf den offenen Bereichen, wo Ψ₁≠0 und Ψ₂≠0 für eine Konstante K₁ (abhängig nur von dem Bereich).

Wenn wir Lösungen auflösen in ihren Komponenten (wo sie ≠0 sind), so erhält man auf diese Weise, dass die Lösungen linear abhängig sind.

Antwort
von PhotonX, 8

Je nach Potential kriegst du andere Lösungen, einfache Beispiele (freies Teilchen, harmonischer Oszillator) sind hier zu finden:  https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger\_equation#One-dimensional\_exampl... Übrigens, dir fehlt auf der rechten Seite ein psi, aber ich denke, das ist ein Tippfehler.

Kommentar von HanzeeDent ,

Ja, stimmt. Das ist ein Tippfehler, Entschuldigung.

Antwort
von Niklasdf, 9

Die Lösung gibt es im folgenden Link unten.

https://www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2014s/fk\_PH0007\_02\_exercisesolution...


Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten