Frage von AnnaArtem, 20

Hilfe : Berechne (i + e^-3πi)^14?

Hallo miteinander, ich brauche dringend hilfe bei einer Übungsaufgabe für die Klausur in der Uni- ich muss folgendes berechnen: (i + e^-3πi)^14 , das Ergebnis :0+ 128i dazu brauch in den Rechenweg am besten über die Formel von Moivre , ich krieg es einfach nicht raus....

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

Wegen der Identität

e^(i * x) = cos(x) + i * sin(x)

ergibt sich

e^(i * (-3pi)) = cos(-3pi) + i * sin(-3pi) =

-1 + i * 0 = -1.

Dann ist

( i + e^(i * (-3pi)) )^14 = (i - 1)^14.

Schaut man sich in der komplexen Zahlenebene die Zahl z = i-1 an, dann erkennt man aufgrund des Satzes des Pythagoras, dass der Radius

r = |z| = Wurzel(2) ist.

Der Winkel phi ergibt sich zu phi = 90° + 45° = 135° und das ist im Bogenmaß

b = 135° / 180° * pi = 3/4 pi.

Dann erhält man für z die Darstellung

z = Wurzel(2) e^(i * 3/4 pi), also schließlich

(i - 1)^14 =

[ Wurzel(2) e^(i * 3/4 pi) ]^14 =

Wurzel(2)^14 e^(i * 3/4 * 14pi) =

2^7 e^(i * 21/2 pi) =

128 e^(i * 21/2 pi) =

128 e^(i * [21/2 pi - 10pi]) =

128 e^(1/2 pi) =

128 ( cos(1/2 pi) + i * sin(1/2 pi) ) =

128 ( 0 + i * 1 ) =

128i.

Antwort
von iokii, 20

Dir sollte klar sein, dass e^-3πi =-1 ist und 

(i + e^-3πi)^14=((i + e^-3πi)^2)^7

du musst also nur (i-1)² berechnen.

Antwort
von Martinmuc, 15

Also, exp(-3pi* i)=-1

Dann ist die Klammer gleich i-1.

Das formst Du in die Exponentialdarstellung um. Der Betrag ist wurzel(2), das Argument 135° bzw. 3pi/4

(wurzel(2)* exp(3pi*i/4))**14=

2**7 * exp(42pi/4)=

128* exp(10.5pi)=

128*exp(0.5pi)=

128i

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