Frage von Artur11111, 4

Hi Ich komme bei einer Physik Aufgabe nicht weiter. Um wie viel verlängert sich seine Länge bei doppeltem Trägheitsmoment?

Länge 0,75m Um seinen Mittelpunkt rotierender Stab.

Ich komme auf 0,311m denn L^2-0,75m= Wurzel aus 36/32 minus 0,75m. In der Lösung steht 0,195m. Das macht für mich keinen Sinn weil die Probe mit dem Trägheitsmoment nur mit der Länge 1,061m auf das doppelte herauskommt. Mit (1/12)*0,945^2 komme ich nur aus 0,0744 Trägheit statt das doppelte von 0,0468

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 1

Vorabvermutung

Ich kann mir vorstellen, woran die Diskrepanz liegen könnte. Vielleicht gehst Du von einer konstanten Masse m aus, die Ersteller der Lösung hingegen von einer konstanten linearen Massendichte

(1) σ := dm/dx

mit dem Längenabschnitt x (dass die Masse gemeinerweise auch noch ungleich verteilt ist, halte ich für ausgeschlossen, das wäre extra erwähnt worden). Heißt: Während »Dein« Stab gleich schwer bleibt und Du ihn in die Länge ziehst, soll nach der vorgegebenen Lösung dem Stab etwas Gleichartiges hinzugefügt werden.

Genereller Tipp

Die »Zahlenrechnerei« verwirrt eher, als dass sie etwas erhellte. In der Physik hat es sich bewährt, mit Formelzeichen zu arbeiten und Zahlen erst ziemlich am Ende einzusetzen.

In diesem all sind Deine Zahlenangaben aber recht nützlich, weil ich anhand ihrer meine Hypothese testen kann.

Trägheitsmoment eines Stabes

Jeden Körper kann man sich als aus »Massepunkten« der Masse dm zusammengesetzt vorstellen, die zum Trägheitsmoment den Beitrag

(2.1) dΘ = dm·ρ² = ϱ·dV·ρ²

liefern, wobei ϱ die Dichte und die Zylinderkoordinate ρ die Entfernung von der Drehachse ist.

Beim Stab mit der Gesamtlänge L können wir wohl davon ausgehen, dass mit Ausnahme der dem Drehpunkt nächstgelegenen Teile der gesamte Querschnitt mit der Fläche A dieselbe Entfernung vom Drehpunkt bei hat und sich so (2.1) auf

(2.2) dΘ = σ·dx·x² = ϱ·A·dx·x² 

vereinfacht. Somit ist

(3) Θ = 2·σ·∫_[–½L]^{+½L} dx x² = ²/₃·σ·¼L³ 

(3.1)         = ¹/₆·σ·L³

(3.2)         = ¹/₆·m·L².

Verhältnis zwischen den Trägheitsmomenten

Hat der Stab mit der Länge L₁ das Trägheitsmoment Θ₁ und mit der Länge L₂ das Trägheitsmoment Θ₂=2·Θ₁, so ist das Verhältnis

(4.1) 2 = Θ₂/Θ₁ = (¹/₆·σ·L₂³)/(¹/₆·σ·L₁³) = (L₂/L₁)³

oder aber

(4.2) 2 = Θ₂/Θ₁ = (¹/₆·m·L₂²)/(¹/₆·m·L₁²) = (L₂/L₁)²

Ich habe den integrierten Rechensklaven mal ausrechnen lassen, ob das mit den Zahlenbeispielen konsistent ist, und Voilà!

Du ziehst den Stab in die Länge, die Macher der Lösung verlängern ihn mit einem gleichartigen Stück. Meine obige Hypothese hat sich bewahrheitet.

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