Frage von Iblea, 78

Hi hab eine frage Was ist eine lineare Funktion?

Was ist eine Lineare Funktion

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von cub3bola, 36

Eine Funktion deren Kurvenverlauf linear (das heisst ein gerade Strich) verläuft.

Dem zugrunde liegt eine konstante (das heisst die bleibt immer gleich) Steigung.

Die Potenz (das ist die Hochzahl) der Unbekannten x (damit ist das x aus der Normalfunktion 1. Grades gemeint, also Y=x*a+b) ist also 1, weshalb man auch von einer Funktion 1.Grades spricht.

Als Beispiel:

Wenn ich dir für jede blöde Frage zwei Ohrfeigen verpassen würde, eine links und eine rechts - das wäre eine lineare Funktion.

Würde ich jedoch erst nach so drei oder vier blöden Fragen dir eine knallen und nach 10 blöden Fragen dann voll ausrasten und dich richtig vermöbeln, wäre dies vermutlich eine Funktion 2. Grades mit nicht linearem sondern degressivem Kurvenverlauf.

Klar soweit?

Ansonsten können wir uns auch gerne mal treffen und ich führe dir das praktisch vor xD

Kommentar von PeterKremsner ,

Für die Schulmathematik bei weitem ausreichend aber streng genommen nicht ganz korrekt :)

Was du beschreibst sind affine Abbildungen und keine linearen.

Die Abbildung f(x)=kx+d ist affin und hat konstante Steigung ist aber eigentlich nicht linear denn für eine Lineare Funktion muss f(x+y) = f(x) + f(y) zutreffen..

f(x+y) = k*(x+y) + d = kx + ky + d und das ist ungleich f(x) + f(y).

Ich bin da desswegen so genau weil es gerade in der Technik oft notwendig ist Linearität zu kennen um das Superpositionsprinzip anzuwenden und dieses gilt wirklich nur für eine Lineare Abbildung.

Kommentar von cub3bola ,

Danke Peter.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 10

a) im Kontext "Polynome" eine Funktion 1. Grades, also von der Form

f(x) = a_0 + a_1 * x

b) im Kontext "Vektorräume" oder im Kontext "homogene Funktionen" eine Funktion, die sich im wesentlichen "proportional" verhält, d. h.

f(a * x) = a * f(x)

f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)

Antwort
von PeterKremsner, 39

Mathematisch gesehen ein Funktion oder besser gesagt eine Lineare Abbildung welche die Linearitätsbedingungen erfüllt:

f(x+y) = f(x) + f(y) (additivität)

f(a*x) = a * f(x) (homogenität)

In der Schule wird das Wort lineare Funktion aber oft für eine Funktion der Form:

f(x) = k*x+d

verwendet obwohl diese streng genommen keine lineare Abbildung darstellt (der Spezialfall d = 0 ergibt jedoch eine lineare Abbildung).


Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathematik, 18

Eine lineare Funktion stellt eine Gerade dar.

Ihr Funktionsterm ist in der Form:

y = m*x + t

m: Steigung des Graphen
t: y-Achsenabschnitt des Graphen

Sie besitzt immer eine Nullstelle bei -t/m.

Ihr Verlauf ist linear, das bedeutet, dass sie eine konstante Steigung besitzt.

Wann immer du also eine Gerade in einem Koordinatensystem siehst, kannst du dir sicher sein, dass dies eine lineare Funktion ist. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Kommentar von PeterKremsner ,

Leider kann ich da nicht ganz zustimmen, denn eine gerade in einem Koordinaten System muss keine lineare und auch keine affine Abbildung darstellen (logarithmische Skalierung)

Kommentar von Willibergi ,

Eine Gerade ist immerzu eine lineare Funktion bzw. zumindest eine Funktion, deren Steigungsverlauf linear ist.

Darüber, dass der Begriff "lineare Funktion" hierfür mathematisch nicht hundertprozentig korrekt ist, ist hinwegzusehen.

LG Willibergi 

Kommentar von PeterKremsner ,

Eine Gerade in einem Koordinatensystem mit logaritmisch, exponentiell usw. skalierten Achsen ist aber keine lineare Funktion.

Kommentar von Willibergi ,

Es ist davon auszugehen, dass die Koordinatenachsen linear skaliert sind, insbesondere aufgrund der Tatsache, dass nicht-linear skalierte Koordinatensysteme allenfalls im Mathematikstudium behandelt werden, das der Fragesteller, der fragt, was eine lineare Funktion ist, offenbar nicht begonnen hat.

Lineare Funktionen werden in der Unterstufe durchgenommen.

Gedanken über derartige Spezialfälle müssen sich also hinsichtlich dessen nicht gemacht werden. ^^

LG Willibergi 

Kommentar von PeterKremsner ,

Wir hatten logaritihmische Skalierungen ab der 2 Oberstufe (HTL).

Da hatte die Vorstellung einer linearen Funktion als gerade im Koordinatensystem gerade zu beginn für einige Verwirrungen gesorgt.

Antwort
von k3ltis, 46

Eine Funktion, die ein lineares Wachstum hat, d.h. eine Gerade im Koordinatensystem darstellt.

Kommentar von PeterKremsner ,

Der Antwort kann ich leider nicht zustimmen weil diese bildliche Darstellung oft trügerisch sein kann.

Ich hab mal nachhilfe in Elektrotechnik gegeben und der Schüler unterlag dem Trugschluss dass die Dämpfung eines Filters eine lineare Funktion sei weil sie eine gerade im Bodediagramm ist.

Bei einfach Koordinatensystemen stimmt das ja, das Bodediagramm hat allerdings eine logarithmische skalierung und somit ist die Funktion nicht linear.

Zudem ist kx+d streng genommen auch keine lineare Abbildung

Kommentar von k3ltis ,

Wie immer gibts eine Ausnahme, die die Regel bestätigt.

Kommentar von PeterKremsner ,

Gibt ein paar mehr Ausnahmen...

genau genommen ist die "Regel" ein Spezialfall für eine lineare Skalierung beider Achsen.

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