Hi, hab eine Frage: Was ist der Unterschied zwischen einem Skalarprodukt und einem skalaren Vielfachen? Hoffe ihr könnt mir weiter helfen.

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1 Antwort

Ein Skalar α ist ja einfach eine Zahl, die zu einem sog. Körper (engl. field) 𝕂 gehören. Einen solchen Körper bilden beispielsweise die Reellen Zahlen.

Wenn es nun eine Menge V gibt, auf der ebenfalls eine Addition

(1) u ∈ V, v ∈ V ⇒ u + v ∈ V

und eine Multiplikation mit einem Skalar α mit

(2) v ∈ V, α ∈ 𝕂 ⇒ α·v ∈ V

definiert ist, heißt V ein Vektorraum über 𝕂. Die in (2) definierte Multiplikation ist dann eine skalare Multiplikation und α·v ein skalares Vielfaches von v.

Das skalare Vielfache eines Vektors ist ein Vektor.

Ist zudem eine symmetrische, positiv definite Bilinearform (respektive, bei den Komplexen Zahlen, Sesquilinearform [sesqui = anderthalb])

(3) u ∈ V, v ∈ V ‹u,v› ∈ 𝕂,
(3.1) ‹u+w, v› = ‹u,v› + ‹w+v›; ‹u,v+w› = ‹u,v› + ‹u,w›
(3.2) ‹u, v› = ‹v, u›
(3.3) ‹u, u› ≥ 0; ‹u,u› = 0 ⇒ u = 0

definiert, so heißt diese ein Skalarprodukt.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Skalar.

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