Frage von KSophiaK, 21

Hey Leute, ich bräuchte dringend eure Hilfe bei einer Matheaufgabe. Wie kann ich bei dieser Abbildung f: N -->N, f(n)=n+(-1)^n+1 die Surjektivität beweisen?

Antwort
von wrglprmft, 16

Ich nehme an es ist

f(n) = n + (-1)^(n+1)

gemeint. Mit

f(1) = 2
f(2) = 1
f(3) = 4
f(4) = 3 

Diese Funktion ist surjektiv (und auch injektiv und zudem die eigene Inverse). Wenn man sich den Funktionsterm (oder die Funktionswerte der ersten Zahlen) anschaut, sieht man, dass n auf n+1 abgebildet wird, wenn n ungerade ist und auf n-1, wenn n gerade ist.

Will man die Surjektivität zeigen, muss man zu jedem k e N, ein n so finden, dass f(n) = k. Da unterscheidet man die Fälle

1.Fall k ist gerade

Dann wählt man n:= k-1. Dann ist n e N und es gilt

f(n) = f(k-1) = k-1 + (-1)^(k-1+1)
     = k-1 + (-1)^k
     = k-1 + 1       | da k gerade
     = k

2.Fall k ist ungerade

Dann wählt man n:= k+1. Dann ist n e N und es gilt

f(n) = f(k+1) = k+1 + (-1)^(k+1+1)
= k+1 + (-1)^(k+2)
= k+1 + (-1) | da k+2 ungerade
= k
Antwort
von Saphir7014, 19

Diese Funktion ist nicht surjektiv. Surjektiv heißt, dass es für jedes natürliche m ein natürliches n gibt, für das gilt f(n) = m. In diesem Fall gibt es für m = 2 nur die Lösung n = 0, und null ist (in den meisten Darstellungen) nicht natürlich.

Wenn du 0 zu den natürlichen zahlen zählst, gibt es für m = 0 nur die Lösung n = -2 und das ist definitiv nicht natürlich.

Kommentar von kreisfoermig ,

null ist (in den meisten Darstellungen) nicht natürlich.

Das ist nicht richtig. Ganze Gebiete der Mathematik (u. a. das der Mengenlehre, das der Algebra) verwenden z. T. vorzugsweise die Konvention ℕ:={0;1;2;…}. Die Definition ℕ:={1;2;3;…} ist eine andere Konvention (kommt vor allem in der Kombinatorik vor und in Deutschland in AnaIysis). Die einzige richtige Aussage ist: es ist eine Sache der Konvention, was im Kontext meistens klar gemacht wird. Hier ist es klar, dass es sich um ℕ:={1;2;3;…} handelt.

Antwort
von Melvissimo, 21

Gar nicht - die kleinste gerade Zahl wird von der Funktion nicht angenommen.

Antwort
von iokii, 21

Ist nicht surjektiv.

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