Frage von TimmyTheTauren, 126

Hey Leute hab gerade paar Probleme mit dieser Matheaufgabe hat jemand Lust mir zu helfen?

http://imgur.com/7tcK7uX schonmal danke im vorraus lg

Antwort
von poseidon42, 26

a) f(x) = sin(kx)    mit  sin(x(1)*k ) = 0 , x(1) zweite Nullstelle

Der enstehende Rotationskörper hat die Länge x(1).
Es entsteht um jedes Teilstück dx des Rotationskörpers entlang der x-Achse ein Kreisförmiger Zylinder der Dicke dx und einer Kreisfläche von f(x)²*pi = A(x)

Damit folgt für das Volumen es solchen infinitesimal dünnen Zylinders:

dV = A(x)*dx    durch Integrieren von 0 bis x(1) erhalten wir also:

V = S[0, x(1)] { sin(kx)² *pi *dx }

Es gilt also zuerst S{ sin²(kx)dx } zu ermitteln, dies erreicht man zum Beispiel durch partielle Integration.

b)  Es sollte bekannt sein, dass gilt:

sin(x) <= 1  ---> der Hochpunkt liegt bei x = pi/2 +/- k*pi      k € Z

Der betrachtete Bereich lautet:          0 <= x <= pi/(2*k)

Es wird schnell ersichtlich, dass gilt f(pi/(2k)) = 1 = Hochpunkt

Um nun das Volumen zu erhalten betrachten wir den entstehenden Zylinder mit V = pi*(1)² * pi/(2k)   und subtrahieren davon das Volumen von der inneren Figur, welches wir durch obige Formel berechen können, es folgt also:

V' = pi*(1)² * pi/(2k) - S[0, pi/(2k)] { sin(kx)² *pi *dx }

c) Einfach gleichsetzen und nach der gesuchten Größe, k , umformen:

S{ sin²(kx)dx } = pi*(1)² * pi/(2k) - S[0, pi/(2k)] { sin(kx)² *pi *dx }

Antwort
von Kesselwagen, 26

Hallo,

das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse lautet ja

V = π * ∫ f^2(x) dx [x1, x2]

Für Aufgabenteil a) berechnest Du das Volumen von (habe ich das richtig verstanden?) 0 bis x1.

Also:

  • V(k) = π ∫ sin^2(kx) dx [0, x1]

  • sin^2x = 1 / 2 + 1 / 2 * cos(2x)
  • = π (1 / 2 ∫ dx [0, x1] + 1 / 2 ∫ cos(2kx) dx [0, x1])

  • Beide Integrale auflösen
  • = π (x1 / 2 + 1 / 2 * [sin(2 * k * x) / 2k] |0, x1)

  • Integrationsgrenzen einsetzen
  • = π (x1 / 2 + sin(2 * k * x1) / 4k

-> Ausgerechnet: V(k) = π / 4k * (2 * x1 + sin(2 * k * x1))

Hoffe, dass ich mich nicht irgendwo beim Integrieren vertan habe. Prüfe also bitte noch mal nach in dem Du selbst nachrechnest. Für Aufgabenteil b) rechnest Du V* aus mit den Integrationsgrenzen 0 und π / 2k für sin(2kx).

c) Beide Flächenfunktionen gleichsetzen und nach k umstellen.

---

LG. Kesselwagen

Antwort
von lina1414, 75

2 Fragen: 1. Welche Klassenstufe ist das? und 2. Hast du noch ca 20 Minuten dann kann ich dir weiterhelfen (versuche es zumindest ;) )

Kommentar von TimmyTheTauren ,

12. Klar gerne :)

Kommentar von lina1414 ,

ah okay machst du G9 oder?

Kommentar von TimmyTheTauren ,

Ja :)

Kommentar von lina1414 ,

so bin jetzt "verfügbar" :D und schau mir mal die Aufgabe an ^^

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