Hey kann mir vielleicht jemand helfen (Parameteraufgabe) -Ganzrationale Funtkion 3. Grades durch den Ursprung x=2 waagerechte Tangente x=4 Wendepunkt; Steig.-4?

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4 Antworten

Ein Sattelpunkt ist ein besonderer Wendepunkt,bei dem die Tangente parallel zur x-Achse liegt und somit auch gilt f´xs)=0

1. y=f(x)=a3 *x^3+a2*x^2+a1*x+ao mit P(0/0) also x0= und y=0 ist ao=0

also ist die Funktion y=a3 *x^3 +a2 *x^2 + a1 *x

2.y´=f´(x)=3 *a3 *x^2 +2 *a2 *x + a1

3.y´´=f´´(x)=6 *a3 *x +4 *a2

4. y´´´=f´´´(x)=6 *a3

Bedingung Sattelpunkt f´(xs)=0 und f´´(xs)=0 und f´´´´(xs) ungleich Null

Aus f´´(x)=6 *a3 *x +2 *a2 sieht man,das es keine 2 Punkte geben kann,wo diese Gleichung zu Null wird.Es gibt also nur 1 Stelle,wo diese gleichung erfüllt ist..

f´(4)= - 4=48 *a3+8 *a2 +a1 und beim Sattelpunkt f´(2)=012*a3+4 *a2 +a1

gleichgesetzt -4-48 *a3-8 *a2=12*a3-4*a2 ergibt a2=- 9 *a3-1

3. f´´(xs)=06 *2 *a3 +2 *( - 9 *a3 -1) ergibt 0=-6 *a3 -2 ergibt a3= -1/3

2. f´(4)) -4 =3 *-1/3 *16 +4 *4 +a1 =-16 +16 + a1 ergibt a1= - 4

Lösung ist somit y=f(x)=-1/3 * x^3 +2 *x^2 - 4 *x

2. Möglichkeit ,ein Lineares Gleichungssystem aufstellen.

Aus den Daten der Aufgabe ergibt sich

1.0 *a3 +0 *a2 + 0 *a1 + 1 *ao =0

2. 12 *a3 +4 *a2 +11 *a1 +0 *ao= 0 mit xs=2 und f´(xs)

3. 48 *a3 +8 *a2 +1 *a1 +0 *ao= - 4 mit x=4 und f´´(x)

4.12 *a3 +2 *a2 +0 *a1 +0 *ao=0 mit xs=2 und f´´(x)

Dies ist das Lineare Gleichungsystem mit den Variablen a3,a2.a1 und ao

Das gibt man in einen Graphikrechner ein (oder rechnet in Handarbeit) und das Ergebnis ist a3=-1/3 und a2=2 und a1= - 4 und ao=0

FAZIT : Der angegebene "Wendepunkt" ist kein Wendepunkt,sondern nur ein punkt,wo die Steigung f´(4)= - 4 ist

Prüfe auf Rechenfehler !!

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ax³+bx²+cx+d=0

Urspung: f(0) = 0
waagTang bei x=2: f '(2) = 0
WP bei x=4: f ''(4) = 0
dort Steig -4:  f '(4) = -4

daraus ein Lineares Gleichungssystem machen und lösen.

Vgl.: http://arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

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Kommentar von Jan99544444
21.01.2016, 18:32

Ja, soweit bin ich ja auch. Aber gerade das mit den aufstellen der Gleichungen bekomme ich nicht  hin

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siehe Meilchen vor ca.12 Std. Ungfähr gleiche Aufgabe !! auch funktion 3.Grades.

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Funktion dritten Grades: ax³+bx²+cx+d

Ableitung: 3ax²+2bx+c=0 für x=2; => 12a+4b+c=0

Wendepunkt: 6ax+2b=0 für x=4; => 24a+2b=0

Steigung bei Wendepunkt: 3ax²+2bx+c=-4 für x=4; => 48a+8b+c=-4

drei Gleichungen mit 3 Unbekannten: a=1/3; b=-4; c=12

Also: f(x)= 1/3x³-4x²+12x

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