Frage von Xeneda, 24

Heron'sche Flächeformel falsch?

Ich habe ein Programm geschrieben, dass die Fläche mit drei gegebenen Dreiecksseiten mit Hilfe der Heron'schen Flächenformel berechnet und ausgibt. Zum testen habe ich einfach mal die Seitenlängen 2, 3, 5 Eingegeben. Die Flächenformel ist ja s * (s-a) * (s-b) * (s-c), wobei s der halbe Umfang ist. Da die Flächenformel ja nur aus Faktoren besteht, muss nur ein Faktor 0 sein um das Ergebnis zu 0 zu machen. Wenn jetzt z.B diese Seite c 5cm lang ist, dann ist das ja der halbe Umfang s, und (s-c) = 0, das heißt auch die Fläche ist 0, aber dann würde das Dreieck ja garnicht existieren. Daher meine Frage: Ist die Heron'sche Flächenformel falsch, oder gibt es keine Dreiecke bei denen eine Seite der halbe Umfang ist?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 16

Hallo,

versuch mal, Dein Dreieck zu konstruieren:

Du fängst mit der längsten Seite an, also mit der 5 cm langen. Die Endpunkte dieser Strecke nennst Du A und B.

Um A schlägst Du einen Kreis mit dem Radius von 2 cm, um B einen Kreis mit dem Radius 3 cm.

Wo sich die beiden Kreise schneiden, liegt Punkt C.

Nun ergeben 2 cm und 3 cm zusammen genau 5 cm. Die beiden Kreise schneiden sich nicht, sondern berühren sich nur, weil ihre Mittelpunkte 5 cm auseinanderliegen. Der Berührpunkt liegt auf der Strecke AB. Alle drei Punkte Deines Dreiecks liegen also auf einer einzigen Geraden. Das aber ist kein Dreieck.

Beachte die Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten in einem beliebigen ebenen Dreieck muß immer größer sein als die dritte Seite.

Dies ist bei Seiten der Länge 2, 3 und 5 cm nicht erfüllt.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von PWolff ,

Man nennt solche Figuren auch "entartete Dreiecke".

Kommentar von Xeneda ,

Danke, hatte leider keinen Zirkel zur Hand :)

Kommentar von Willy1729 ,

Dafür brauchst Du keinen Zirkel. Du brauchst ja nur Seitenlängen zu addieren und sehen, ob die Summe nicht kleiner oder gleich als die Länge der dritten Seite ist. Mit einem Zirkel und einem Lineal wird's natürlich anschaulicher.

Kommentar von Xeneda ,

Ja, stimmt auch wieder. Danke für die Antwort jedenfalls :)

Kommentar von Willy1729 ,

Du darfst auch nicht vergessen, die Wurzel zu ziehen. Deine Formel ergibt die Fläche im Quadrat.

Die Heronsche Dreiecksformel lautet A=√[s*(s-a)*(s-b)*(s-c)]
mit s=(a+b+c)/2

Kommentar von Xeneda ,

Im Programmcode hab ich eh die richtige Formel benutzt, hab die Wurzel nur hier vergessen. :D

Antwort
von kreisfoermig, 4

Deine Frage zielt auf einen Einwand zur Formel, nämlich, ob F(a,b,c)=0 werden kann, während der Flächeninhalt F(∆ABC) > 0. Dies erfolgt gdw.

(†) a,b,c > 0 und s·(s–a)·(s–b)·(s–c)=0,

wobei s=(a+b+c)/2. Darum gilt

(†) ⟺ s=a oder b oder c  (da auf jeden Fall s>0)
⟺ 2s=a oder b oder c
⟺ a+b+c=a oder b oder c
⟺ a=b+c oder b=a+c oder c=a+b.

Betrachte nun einen Dreieck ∆CDE mit Seitenlängen c=|DE|, d=|CE| und e=|CD|. Angenommen, der Flächeninhalt > 0. Dann muss das Dreieck echt sein, d. h. c,d,e ≠ 0. Äquivalent zu dieser Bedingung: keine zwei Seiten sind parallel (wir arbeiten ja in einer flachen Geometrie). Folglich ist der absolute Wert des Skalarprodukts zw. je 2 Seiten bspw. CD und CE

|<CD,CE>| ≤ |CD|·|CE| mit Gleichheit gdw. CD || CE

und wegen Echtheit sind CD, CE nicht parallel, sodass |<CD,CE>| < |CD|·|CE| (strikte Ungleichung!). Folglich

c² = |DE|²
= |DC+CE|²
= <DC+CE,DC+CE>
= <DC,DC> + <CE,CE> + <DC,CE> + <CE,DC>
= <DC,DC> + <CE,CE> + <DC,CE> + <DC,CE>
= |DC|² + |CE|² + 2<DC,CE>
= |DC|² + |CE|² - 2<CD,CE>
≤ |DC|² + |CE|² + 2|<CD,CE>|
< |DC|² + |CE|² + 2|CD|·|CE|
= (|DC| + |CE|)²
= (|CD| + |CE|)²
= (e + d)²

also

c < e + d

Darum gilt in jedem Dreieck mit nicht leerem Flächeninhalt, dass

Länge(Seite) < ∑ Länge(anderer Seiten)

für jede Seite. Insbesondere gilt in dem Dreieck ∆ABC mit Flächeninhalt > 0, dass

a < b + c und b < a + c und c < a + b.

Darum tritt (†) nicht auf. Also ist

F(∆ABC)>0 & F(a,b,c)=0

unmöglich!

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