Frage von Selinliebtaaron, 47

Herleitung Kepplersche Fassregel?

Hallo liebe Community,

Mir ist die Frage etwas peinlich, da sie vermutlich ganz einfach zu beantworten ist. Ich halte demnächst eine Präsentation über die Kepplersche Fassregel/Simpsonregel. Dort ist natürlich auch die Herleitung wichtig. Ich hab einiges gefunden aber ich verstehe nie, wieso bei diesen ganzen Herleitungen nicht die richtige Formel am Ende heraus kommt, immer nur so andere Gleichungen.. ich habe nun dies gefunden: http://www.florian-sachs.eu/docs/numerische_integration.pdf

Die erste Seite der Fassregel.. ist dies die Herleitung ? Könnte dies mir jemand erklären ? Ich bin eine absolute Niete in diesem Fach...

Lg

Antwort
von ArchEnema, 30

Der Kerngedanke ist, dass eine Kurve durch eine Parabel angenähert wird. Dafür nimmt man die Funktionswerte der Intervallgrenzen und des Punktes genau in der Mitte des Intervalls.

Dass man die Mitte nimmt hat den Vorteil, dass die Fläche der durch diese 3 Punkte definierten Parabel im gegebenen Intervall besonders einfach zu berechnen ist. Man muss dafür kein Integral berechnet etc.

Hier ist es ganz gut (mit Bild!) erklärt: http://www.mathepedia.de/Keplersche\_Fassregel.aspx

Damit kannst du zumindest zeigen, dass und warum die Regel so hinhaut. Auf welchen Umwegen Kepler (oder Torricelli, oder Simpson) sich das ausgeknobelt haben ist natürlich eine andere Frage. Für Fässer scheint sie jedeoch wirklich prädestiniert zu sein. ;-)

Kommentar von Selinliebtaaron ,

Vielen Dank! ich werde mir die Seite mal ansehen =)

Kommentar von ArchEnema ,

Hier noch eine andere Herleitung, ganz ohne Parabeln: http://sneaker.cfg-hockenheim.de/referate/inhalt/fassvolumen/seiten/kepler-h.htm...

Zwei Trapeze und ein Rechteck, gewichtet gemittelt.

Kommentar von Selinliebtaaron ,

Auf dieser Seite war ich schon :)

Was war das dann für eine Rechnung die ich per Link gepostet habe ? Was war das ziel davon ?

Kommentar von ArchEnema ,

Auf Seite 11 unten hat er doch die Formel aufgeführt. Er hat halt auch noch die Annäherungen über Trapeze geschildert.

Die Sehnentrapezmethode ist in meinem zweiten Link ja auch "verbaut". Gut möglich, dass Kepler ursprünglich gar nicht über die Parabel auf die Formel gekommen ist!

Und natürlich kann man das Intervall in kleinere Scheibchen zerteilen, wenn die 3 Stützpunkte der Fassregel nicht genau genug sind. Ich sag' nur Shannonsches Abtasttheorem. ;)

Kommentar von ArchEnema ,

Eine elegante Präsentation wäre ggf., wenn du über Sehnentrapeze+Rechteck argumentierst, und dann zeigst, dass es der Fläche unter der Parabel entspricht.

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