Frage von IIZI9I5II, 34

Herleitung der Zerfallkonstante?

Hallo, ich versuche gerade die Herleitung zu verstehen und keine eine Aussage nicht verstehen. Die Funktion N(t) beschreibt die Anzahl der unzerfallenen Atome. Bei der Herleitung steht:

-dN/dt = N(t)

Wörtlich: Der Wert der Steigungstangente muss dem Funktionswert entsprechen. Ich verstehe das irgendie nicht. Warum muss die Steigung an einem Punt x dem Funktionswert entsprechen?

Antwort
von Wechselfreund, 8

N(t) nimmt exponentiell ab, also N0 mal irgendwas hoch minus was anderes.

Als Basis nutzt man in Physik e, somit N(t)= N0 e hoch minus einem Exponenten, der dafür sorgen muss, dass nach T1/2 noch die Hälfte da ist.

e^(-lamda·t) ergibt für t = T1/2 den Wert 1/2, wenn lamda = (ln 2)/(T1/2).

Die Aktivität ist die Änderung der Funktion N(t), Steigung also Ableitung.

Wegen der Kettenregel taucht dann der Faktor lamda auf.


Antwort
von fjf100, 3

Wir gehen wie folgt vor:

Wir kaufen uns ein Physik-Formelbucg privat aus einen Buchladen,da tun wir dann alles abschreiben,dass aber sagen wir den Pauker nich.

radioaktver Zerfall N(t)=No * e^(-b *t)

hier ist b die Zerfallskonstante.

abgeleiete N´(t)= - b * No *e^(-b *t)

eingesetzt in - dN/dt= N(t) ergibt - (-b *No * e^(-b*t)= No *e^(-b*t)

b=1 ?? kann nicht stimmen,hier fehlt was !

Betrachtet werden zu Zeitpunkt t1 N(t1)=100 zerfallsfähiger Kerne

Im Zeitintervall (t2-t1)= 1 s zerfallen 5 Kerne

"differenzenquotient (de)N/(de)t= (N2 -N1)/(t2-t1) =(95-100)/1 s= - 5 Kerne/s

Minus bedeutet :Die Anzahl der zerfallsfähigen Kerne nimmt ab.N(t) ist also eine "nonoton fallende kurve",wo an jeder Stelle t die Steigung negativ ist.

(de) griechischer Buchstabe "Delta"

mit den Zeitintervall (t2-t1) gegen Null ergibt sich der "Differentialquotient"

dN/dt

wir schreiben nun  (N2 -N1) + N(t) * b * (t2-t1)=0

(n2-N1)=5 und N(t) * b *1s=5 zerfallene Atome hier b= 5/(100 *1s)=0,05

probe 100 *0,05 *1= 5 zerfallene Atome

Mit (t2-t1) gegen Null ergibt sich dn +N(t) * b * dt= 0

dies ist wie eine Vektorgleichung von 2 Kräften F1 und F2

Gleichgewichtsbedingung : Die Summe aller Kräfte in x-Richtung ist gleich Null

F1+F2=0 ergibt F1= - F2

minus bedeutet,die Kraft F2 wirkt in entgegengesetzter Richtung

Analogie zum radioaktiven Zerfall :

dN + N(t) *b * dt= 0 ergibt dN=N(t) - b * dt

bedeutet : Minus N(t) Anzahl der zerfallsfähigen Kerne nimmt ab

Lösung der Dgl durch trennen der Veränderlichen

dN/N(t) = - b * dt integriert 

Ln(N(t))= - b *t + C logarithmiert

N(t)= e^(-b *t+C) aus den Mathe-Formelbuch a^r * a^b=a^(r+b)

N(t)= e^(- b * t) * e^c mit t=0 ergibt sich N(0)= 1 * e^c also ist zum zeitpunkt t=0 die Anzahl der zerfallsfähigen Kerne e^c= No

Endformel somit N(t)= No * e^(-b *t)

Hinweis : - dN/dt= N(t) ergibt dN/dt= - N(t) ist nicht vollstandig

richtig ist dN/dt= N(t) * -1* b *

Also genau so,wie es im Physik-Formelbuch steht.

Antwort
von Reggid, 23

das steht da ganz sicher nicht bei der Herleitung, sondern

-dN/dt =λ N(t)

Kommentar von IIZI9I5II ,

das wurde später hinzugefügt! trotzdem wurde diese aussage so aufgeschrieben. weist du warum das gilt?

Kommentar von ClydefrogXL ,

das ist eine empirische Beobachtung. Der Grund dahinter ist, dass der grundsätzliche Vorgang der ist, dass in jedem einzelnen Atom permanent gewürfelt wird, ob das Atom zerfällt oder nicht. Sagen wir du hast 100.000 Atome von denen im Mittel 10 im Jahr zerfallen. Dann zerfallen bei 10.000 Atomen noch 1 im Jahr und so fort.

Allgemein aufgeschrieben ergibt das:
Änderungsrate proportional zu Bestand
bzw.
Änderungsrate = Konstante*Bestand.

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