Frage von sarah0098, 28

Herleitung der Hesse'schen Normalenform und Abstandsform ?

Ich mache ein freiwilliges Referat in Mathe-LK und habe schon einiges zum Thema HNF, jedoch versteh ich den Zusammenhang zwischen der HNF und der Hesse'schen "Abstandsform" d=(p-a)*n0 (natürlich mit Verktorpfeilen). Wie kommt man vom einen auf das andere? Und in einigen Büchern ist die Herleitung mit Winkel erklärt und in einigen ohne? Was ist denn jetzt die richtige Herleitung? Habe auch Bilder hochgeladen von dem was ich habe. Vielen Vielen lieben Danke an die Helfer.

Antwort
von Roach5, 20

Ich habe das früher so gemacht (hatte witzigerweise damals im LK das Selbe vorgetragen):

Zuerst bemerke man, dass die orthogonale Projektion auf die Ebene den minimalen Abstand liefert, das sollte jedem klar sein (mach dir das am besten klar, indem du eine Projektion in einem anderen Winkel danebenzeichnest und dir das entstehende Dreieck anschaust).

Sei nun die Ebene durch E: (x - p).n = 0 gegeben, und v der Vektor, dessen Spitze vom Ursprung aus der Punkt ist, dessen Abstand zur Ebene wir messen wollen (diesen Punkt identifizieren wir einfach mit v). Ist v nicht in der Ebene, so gehen wir von v orthogonal herunter, bis wir die Ebene treffen. Die Richtung ist n, das ist klar, da es der Orthogonalvektor auf der Ebene ist. Wir wissen also, dass (v - t * n) irgendwann auf der Ebene landen wird. t ist hierbei ein Parameter, und da |n| = 1, wissen wir, dass wir direkt den Abstand kennen, wenn wir t kennen, denn das ist einfach der Abstand. Das Ziel wird nun also sein, t herauszufinden.

(v - t*n - p).n = 0
[Distributivgesetze]
(v-p).n - t*(n.n) = 0

Jetzt wissen wir aber, dass n.n = 1, da |n| = 1, also:

(v-p).n - t = 0
[Umstellung]
t = (v-p).n

Und durch vorherige geometrische Beobachtungen wissen wir, dass |t| = d.

t ist sogar viel cooler als d: Jenachdem, ob t positiv oder negativ ist, sagt es aus, ob der Punkt auf der "Sonnenseite" oder "Schattenseite" der Ebene liegt (in Bezug auf die Orientierung, die durch den Orthogonalvektor gegeben ist).

LG

Kommentar von sarah0098 ,

Viele Dank für deine Antwort. Das ist die erste gute Herleitung die man schnell und richtig präsentieren kann. 

Kommentar von Roach5 ,

Freut mich, dass es dir geholfen hat. Alles, was du in der Schule in Mathe lernen wirst, ist sehr intuitiv und man kann alles anschaulich darstellen (das kommt jetzt auf den Lehrer an). Wenn du irgendwo auf ein Problem stößt und die Herleitungen im Internet nicht verstehst, versuch es einfach selbst, in den meisten Fällen sind Internetlösungen nicht die elegantesten, häufig sind sie einfach nur schlecht. Das gilt übrigens auch für Schulbücher, die sind oft fehlerhaft, wenn das Buch noch nicht oft verbessert und neu aufgelegt wurde (ich habe lieber ein 30 Jahre altes Buch in der zehnten Auflage, das mir jeder Mathelehrer empfehlen würde, als den neuesten Shit in der ersten Ausgabe, wo du jede Zeile drei mal lesen musst). (Fast) alles, was du in der Schule lernst, lässt sich mit Schulmethoden beweisen, also einfach drauf los versuchen, damit kommst du meiner Meinung nach am weitesten.

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