Frage von MZMC4, 64

Herleitung der abc-Formel?

Ich halte diesen Freitag meine GFS zum Thema der abc-Formel. Ich verstehe auch so ziemlich alles außer 1 Sache ! Die herleitung dieser Forme. Ich hab sehr viel im Internet und in meinem Buch gesucht jedoch waren da 2 verschiedene herleitungen zu dieser Formel. Einmal die mit der Scheitelform(Die muss ich nicht können hat mein lehrer gesagt. Er sagte die GFS soll hauptsächlich zu abc formel sein ) Und eine mit der quadratischen ergänzung + der Binomischen formel.Ich muss jetzt die machen mit der Quadratischen ergänzung und so, leider verstehe ich die nicht. Kann die mir jemand ganz gut erklären ? (Die Binomische formel hatten wir nur einmal vor 2 wochen in einer anderen GFS, darum versteh ich diese umformung auch nicht so richtig)

MFG

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 38

Ausgerechnet werden soll ax²+bx+c=0:

ax²+bx+c=0         |:a    (damit man quadr. ergänzen kann, sollte 1*x² da stehen; ist dann einfacher zu erkennen)
x²+b/a*x+c/a=0   |quadr. Ergänzung: Wert vor dem x durch 2 dann quadrieren,
                              also (b/(2a)²
x²+b/a*x+(b/2a)²-(b/2a)²+c/a=0    |ersten 3 Summanden = 1. Binom
(x+b/2a)²-(b/2a)²+c/a=0                |*(2a)² um die "hässlichen Nenner"
                                                        loszuwerden; weil die Klammern quadratisch sind, musst Du innerhalb mit * 2a rechnen!
(2ax+b)²-b²+(2a)²c/a=0                |+b²    |-4ac   [letzten Term vereinfacht]
(2ax+b)²=b²-4ac                           |Wurzel ziehen
2ax+b=+-Wurzel(b²-4ac)             |-b
2ax=-b+-Wurzel(b²-4ac)              |:2a
x=(-b+-Wurzel(b²-4ac)) / (2a)

Siehe auch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische\_Gleichung#Herleitung\_der\_a-b-c-For...

(sieht was einfacher aus, aber man muss erst einmal darauf kommen, im 2. Schritt mit * 4a zu rechnen...)

Kommentar von MZMC4 ,

Hab eine frage. Bei Wikipedia  wird im ersten schritt I-c  gemacht. Bei dir aber teilst du alles durch a. Oder hab ich da was irgendwie falsch verstanden ? 

Kommentar von Rhenane ,

Das siehst Du richtig. Bei Wiki wird dann im nächsten Schritt mit |*4a weitergerechnet, aber versuche das mal zu erklären, warum man das jetzt macht, und wie man da so einfach drauf kommt.

Ich bin einfach "stur" vorgegangen. Du hättest bei meiner Vorgehensweise an der Stelle " |*(2a)² " auch anders vorgehen können:

(x+b/2a)²-(b/2a)²+c/a=0              |+(b/2a)²   |-c/a
(x+b/2a)²=(b/2a)²-c/a                  |Wurzel ziehen
x+b/2a=+-Wurzel((b/2a)²-c/a)    |-b/2a
x=-b/2a+-Wurzel((b/2a)²-c/a)     |In Wurzel Hauptnenner bilden:=(2a)²
x=-b/2a+-(Wurzel(b²-2ac)/(2a)²)
x=-b/2a+-Wurzel(b²-2ac) / Wurzel(2a)²
x=-b/2a+-Wurzel(b²-2ac)/2a
x=(-b+-Wurzel(b²-2ac)) / 2a

Ich denke, bei diesen 2 Varianten kann man die einzelnen Schritte recht gut nachvollziehen, bei |*4a müsste man schon einige Schritte voraus denken um auf diesen Schritt zu kommen...

Kommentar von MZMC4 ,

Danke für die tolle erklärung :)

Kommentar von Rhenane ,

Gern geschehen und viel Erfolg am Freitag!

Kommentar von MZMC4 ,

Danke ^^

Antwort
von Blvck, 27

ax² + bx + c = 0 | -c

ax² + bx = -c | *4a

4a²x²+ 4abx = -4ac | +b² (quadratische Ergänzung)

4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac | der linke Teil ist eine (ausmultiplizierte) 1. binomische Formel und kann deshalb zusammengefasst werden

(2ax+b)² = b² - 4ac | √

2ax+b = ±√(b²-4ac) | -b

2ax = -b ±√(b²-4ac) | :2a

x = (-b ± √(b²-4ac))/2a

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community