Frage von gabrielklesse, 18

Hei liebe Kommune. Ich habe ein Problem im Bereich Mathematik zum Thema Folgen und Reihen;details unten. kann mir bitte jemand helfen:)?

Also Folgen habe ich kapiert und das Prinzip von Reihen ebenso. ich verstehe deren Aussage und was ein Grenzwert und was Konvergenz und Divergenz ist. Nur leider kann ich keine Aufgaben dazu lösen.

Z.B.: Bestimme den Grenzwert der Reihe Sigma i=1 bis unendlich 1/5^i (sorry ich weiss nicht wie man sonderzeichen einfügt): Ich weiss dass man Reihen durch Majoranten und Minoranten eingrenzen kann und sich folglich der Grenzwert der Reihe zwischen diesen Summen befindet, aber iwie verstehe ich den Ansatz nicht wie man so eine Aufgabe angehen muss, resp. lösen muss. Ich weiss auch nicht wie man Majoranten oder Minoranten bestimmt, weder weiss ich wie man eine Hilfsfolge bestimmt noch wie man eine Indexverschiebung macht. Ihr seht, die Begriffe sind mir geläufig nur der Lösungsansatz fehlt...

Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar; auch andere Beispiele zur Erklärung sind gewünscht! Wenn möglich anschaulich ;)

Lg Gabriel

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 6

Hallo,

der Grenzwert ist 1/4

Das läßt sich folgendermaßen nachweisen:

sn=1/5+1/25+1/125+...+1/5^n kann auch folgendermaßen dargestellt werden:

(5^0+5^1+5^2+...+5^(n-1))/5^n

Du machst die Brüche also gleichnamig. Der Nenner ist dann 5^n, der Zähler ist die Summe von 5^0 bis 5^(n-1)

Jetzt kommt der Trick:

Du multiplizierst sn mit 5:

5*sn=(5^1+5^2+...5^n)/5^n

5*sn unterscheidet sich von sn lediglich dadurch, daß es nicht mit 1, sondern mit 5 beginnt und mit 5^n, nicht mit 5^(n-1) aufhört.

Wenn Du nun 5*sn-sn rechnest, heben sich alle identischen Glieder auf.

Übrig bleibt lediglich (5^n-1)/5^n

Also: 5sn-sn=(5^n-1)/5^n

4sn=(5^n-1)/5^n

sn=(1/4)*(5^n-1)/5^n

Den Bruch kannst Du aufteilen:

sn=(1/4)*(5^n/5^n-1/5^n)=(1/4)*(1-1/5^n)

Für n gegen unendlich geht 1/5^n gegen Null, also gilt hier:

sn (lim n gegen unendlich)=(1/4)*(1-0)=1/4

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Allgemein läßt sich so nachweisen, daß der Grenzwert der Summe (k=1 bis n) für n gegen unendlich von 1/a^n=1/(a-1) ist.

Willy

Antwort
von AnglerAut, 11

Im Endeffekt schaust du dir Reihen an, die du kennst und versuchst Parallelen zu finden zu der Reihe in der Aufgabe.

Kannst du eindeutig sagen ob sie größer oder kleiner ist als eine bekannte Reihe ?

Nehmen wir dein Beispiel:

1/5^i

Wir kennen 1/2^i, das konvergiert gegen 1.

Jedes einzelne Teil der Summe ist kleiner, also wissen wir, 1/5^i konvergiert gegen etwas, was kleiner ist als 1.

Jedes einzelne Teil der Summe ist positiv, also liegt unser Ergebnis über 0.

Wir haben den Konvergenzbereich der Summe eingegrenzt.

Weiter im Text:

Bei 1/2^i Erreicht die gesamte Reihe für i>=2 nicht mehr den Wert des ersten Summanden, offensichtlich ist dies bei unserer  Summe auch der Fall, wir wissen also, unser Ergebnis liegt unter 2/5 ...

So kannst du dich zumindest mal vortasten und ein Gefühl für die Sache bekommen.

Antwort
von iokii, 12

Das ist die sogenannte geometrische Reihe, eine der wenigen, von denen man den Grenzwert tatsächlich kennt.

Was der Grenzwert ist kannst du vermutlich in deinem Skript nachlesen.

Antwort
von eddiefox, 3

Hallo,

hier ein Lösungsvorschlag. Wir benutzen zwei Sachen:

1) Es gilt  (1-q) ∑qᵏ = 1-qⁿ⁺¹ (summe von k=0 bis n)

2) Für ein reelles q  ∈ ]0;1[ gilt: lim qⁿ = 0 (n→∞)

Aus 1) folgt:

∑qᵏ  = (1-qⁿ⁺¹) / (1-q)   (sum. von k=0 bis n).

Also gilt  lim ∑qᵏ  (n→∞) = lim (1-qⁿ⁺¹) / (1-q)   (n→∞)

Setze q = 1/5, also gilt q ∈ ]0;1[ , und es kann 2) verwendet werden:

 lim qⁿ = lim (1/5ⁿ) = 0  (n→∞)

Insgesamt:

lim ∑(1/5)ᵏ = lim (1-(1/5)ⁿ⁺¹) / (1-(1/5)) = (1-0) / (1-1/5)

= 1/(4/5) = 5/4  (n→∞)

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Das Ergebnis kannst du bei wolframalpha.com überprüfen:

eingeben "sum 0.2^k fom k=0 to infinity"

Gruss

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