Frage von JMaster18, 12

Hat jemand eine Ahnung, wie man hier vorgehen könnte?

Bei dieser Aufgabe weiss ich einfach nicht, wie ich vorgehen soll. Kann mir hier vielleicht jemand helfen?

Antwort
von DieZahlPi, 12

Zunächst willst du die k-te Ableitung der Funktion bestimmen. Für x<=0 ist die natürlich immer 0. Für x>=0 schaust du dir am besten zunächst die erste Ableitung an, die ist

f'(x)=(n+1)*x^n

Die zweite Ableitung ist

f''(x)=(n+1)*n*x^(n-1)

Jetzt sieht man schon, worauf das hinauslaufen wird, es kommt immer ein um eins kleinerer Faktor vor das x und der Exponent schrumpft immer um eins pro Ableitung. Also wird die k-te Ableitung sein:

fk(x)=(n+1)*n*(n-1)*...*(n-k+2)*x^(n-k+1)

(zumindest solange k<n+2 ist). Die Vorfaktoren lassen sich auch noch schöner hinschreiben, etwa als

(n+1)!/(n-k+1)!

Bei der Frage nach der stetigen Differenzierbarkeit müsstest du nach der Stetigkeit aller Ableitungen schauen. Für x<=0 sind die wie gesagt alle 0, Für x>0 aber im Grenzwert x->0 gehen auch alle Ableitungen gegen 0, damit ist die Funktion meiner Meinung nach stetig differenzierbar.

Alle Angaben ohne Gewähr ;)

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