Frage von tt7753, 108

Hat der Ln von 1 mehrere Lösungen?

Denn mir ist heute aufgefallen, dass e hoch 0 und e hoch (2i*pi) gleich eins sind

Antwort
von WeicheBirne, 22

Das hast Du gut beobachtet e^0 = 1 und e^(2i*π)=1


Laß uns zunächst mal nur reelle Zahlen für x in e^x betrachten

Wenn Du nur reelle Zahlen wählen kannst dann wird e^x nur 1 wenn x=0. Für reelle Zahlen gibt es also kein Problem. Ln(1) = 0.

Ln(y)=x ist dabei die Umkehrfunktion von e^x=y. e^x bildet jede reelle Zahl x auf eine reelle Zahl y ab und Ln(y) bildet jede Zahl y auf eine reelle Zahl x ab.

Vielleicht hast Du schon davon gehört, daß eine mathematische Funktion jeden Wert ihres Definitionsbereichs auf nur einen Wert in ihrem Wertebereich zuordnen darf.

Für reelle Zahlen funktioniert das bei Ln(y)=x. Jedes y wird nur einem x zugeordnet. Das liegt natürlich daran, daß zwei verschiedene reelle Zahlen x₁ und x₂ auch immer zwei unterschiedliche reelle Werte für e^x₁ und e^x₂ liefern. Man sagt die Funktion e^x ist "injektiv".

Es gibt für reelle Zahlen aber Funktionen, die nicht injektiv sind. x^2 = y ist so eine Funktion. Die Umkehrfunktion Wurzel(y) könnte darum x oder -x liefern. Aber wie gesagt darf eine Funktion jeden Wert nur auf einen Wert abbilden. Darum beschränkt man den Wertebereich der Funktion Wurzel(y) auf positive x.



Laß uns jetzt einmal e^x für imaginäre Zahlen ansehen. Also x = i*r wobei r eine reelle Zahl ist. Hier gilt die Eulersche Formel

e^(i*r) = cos( r ) + i * sin( r )

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche\_Formel

Daran kannst Du erkennen, daß e^(i*r) = 1 nicht nur für r = 0 und r= 2*π gilt.

Tatsächlich gibt es unendlich viele Werte für r bei denen e^(i*r) = 1 und zwar für alle  r = 2*π*n wobei n jede ganze Zahl sein kann.

Das ist jetzt natürlich für unsere Umkehrfunktion Ln(y) ein Problem. Sie darf ja y=1 nur einen einzigen Wert zuweisen. Genauso wie für die reelle Funktion x^2 schränkt man den Wertebereich der komplexen Funktion Ln(y) hier ein.

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex\_logarithm

Vereinbarungsgemäß liegt dieser Wertebereich im Intervall ( -π ; π] . In diesem Intervall gibt es nur einen Wert auf den Ln(y) den Wert y = 1 abbilden kann -nämlich 0. Also auch hier gilt  Ln(1) = 0

Kommentar von tt7753 ,

Danke :) Ziemlich gut erklärt

Kommentar von WeicheBirne ,

:o)

Antwort
von ausdertonne, 41

Richtig, der komlexe Logarithmus ist nicht eindeutig.

Wenn du für ein komplexes z einen Logarithmus w gefunden hast mit w=ln z, dann ist auch w+ k* (2 pi i) für ganze Zahlen k ebenfalls ein Logarithmus von z.

Es gibt also unendlich viele Lösungen. Man nennt die Lösung für k=0  Hauptwert und meint meist in der Literatur stillschweigend nur diesen.

Um das ganze mathematisch wieder geradezubiegen muss man im allg. zur Theorie der Riemannschen Flächen greifen, was aber schon etwas fortgeschrittener ist.



Kommentar von PWolff ,

exp hat (im Komplexen) die Periode 2 π i

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 57

1 kommt öfter mal irgendwo raus:

sin² x + cos² x =  1
tan x * cot x     =  1
x⁰                    =  1             für alle x, nicht nur e  
x/x                   =  1
-i²                   =  1


Kommentar von tt7753 ,

Mir ging es doch darum, ob der ln von 1 mehrere Lösungen hat oder der ln im allgemeinen im komplexen mehrere Lösungen hat

Kommentar von Volens ,

Der ln 1 ist sowieso = 0 und nicht = 1 (wie alle Logarithmen von 0).
Jeder Logarithmus ist nur 1 zu seiner Basis. Denn der Logarithmus ist ja nichts anderes als ein anderer Name für Exponent (Hochzahl).

ln e = 1   wegen e¹ = e

Kommentar von tt7753 ,

Hab auch nichts anderes behauptet, da e hoch 0 = 1 ist, und die null ist das x, das der ln berechnet. Aber ich kann ja offensichtlich auch für x 2i*pi einsetzten deshalb müsste der ln mehrere Lösungen haben.

Kommentar von Volens ,

Da haben wir wohl ein wenig aneinander vorbeigeredet. Aber deine Überschrift ist da auch nicht so recht eindeutig?

"Hat der Ln von 1 mehrere Lösungen?"

ln 1 = 0    wegen  e⁰ = 1

Kommentar von tt7753 ,

e^(2i*pi) = 1 und e^0 = 1 und da der ln die Umkehrfunktion ist müsste er mir beide Lösungen liefern. Womit er mehrere Lösungen haben müsste. Was er ja auch hat, laut der anderen Antwort.

Kommentar von Volens ,

Stimmt ja auch, aber man macht nicht so recht Gebrauch davon.

http://www2.imng.uni-stuttgart.de/LstNumGeoMod/VHM/Vorlesungen/Komplexe_Analysis...

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