Frage von mathe5, 36

Hallo, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen Den Induktionsanfang und die Induktionsannahme habe ich bereits Aber der Induktionsschritt fehlt mir noch?

Antwort
von surbahar53, 27

a1 = 1
a2 = 1
a3 = 2

Für n=2 ist die Behauptung richtig. Nun der Induktionsschritt, für (n+1) ergibt sich:

a(n+2) * a(n) - a(n+1)^2 =
[a(n+1) + a(n)] * a(n) - a(n+1)^2 =
a(n+1) * a(n) + a(n)^2 - a(n+1)^2 =
a(n)^2 + a(n+1) * [ a(n) - a(n+1) ] =
a(n)^2 + a(n+1) * [ a(n) - [ a(n) + a(n-1) ]] =
a(n)^2 + a(n+1) * [ -a(n-1) ] =
a(n)^2 - a(n+1) * a(n-1) =
(-1) * [ a(n+1) * a(n-1) - a(n)^2 ]

Jetzt kommt die Induktionsvoraussetzung ins Spiel, denn in der Klammer steht der Ausdruck für n:

(−1)∗(−1)^(n+1) = (−1)^(n+2)

Antwort
von wrglprmft, 36

Die Induktionsvoraussetzung:

a(n)^2 = a(n-1)a(n+1)+(-1)^(n-1)

kann man umformen zu

a(n+1)a(n-1) = a(n)^2 - (-1)^(n-1)

Dann erhält man:

a(n+1)^2 = a(n+1)a(n+1)
         = a(n+1)[a(n)+a(n-1)]
         = a(n+1)a(n) + a(n+1)a(n-1)       | IV
         = a(n+1)a(n) + a(n)^2 - (-1)^(n-1)
         = a(n)[a(n+1)+ a(n)]  + (-1)^n
         = a(n)a(n+2) + (-1)^n

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten