Frage von PaelzerBu96, 44

Hallo, wir müssen fürs Studium folgenden Beweis in Mathe führen: Kann mir jemand helfen?

Seien die Zahlen m,n (Element natürliche Zahlen) so gewählt ,dass gilt: m^2=2n^2. (Das"^" steht für "hoch 2") Die Aufgabe ist nun zu beweisen, dass a) m gerade sein muss und b) n gerade sein muss... Als Hinweis steht hier: führen sie einen Widerspruchsbeweis durch und bedenken sie, dass alle ungeraden Zahlen als 2k+1 darstellbar sind.. Nun habe ich angefangen bei a) für m 2k+1 einzusetzen und dies ausmultipliziert(4k^2+4k+1=2n^2), ich habe aber keine Ahnung wie ich jetzt beweisen soll, dass m gerade sein muss, vor allem da in der Gleichung 2 variablen vorkommen. Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von eddiefox, 15

Hallo,

Nun habe ich angefangen bei a) für m 2k+1 einzusetzen und dies
ausmultipliziert(4k^2+4k+1=2n^2), ich habe aber keine Ahnung wie ich
jetzt beweisen soll, dass m gerade sein muss

du hast schon richtig angefangen. 

Du musst jetzt zeigen, dass aus m ungerade ein
Widerspruch folgt.

a) Annahme m ungerade. d.h. m = 2k+1 für ein k ∈ ℕ.

Also gilt m² = (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1.

Setze N = (2k²+2k), also m² = 2N+1 mit N ∈ ℕ.

Wir setzen das Ergebnis von m² in die Gleichung
m² = 2n² ein und erhalten

2N+1 = 2n².

Das ist aber ein Widerspruch, da auf der linken Seite
eine ungerade Zahl steht, auf der rechten eine gerade
Zahl. Also muss m gerade sein.

b) Annahme n sei ungerade,
also n = 2k+1 für für ein k ∈ ℕ.

Weiterhin gilt m gerade, wie in a) gerade gezeigt
wurde, also m = 2p für ein p ∈ ℕ.

Die Gleichung m² = 2n² geht über in

(2p)² = 2(2k+1)² <=> 4p² = 2(4k²+4k+1) <=>

4p² = 4(2k²+2k) + 2 | division durch 4

p² = (2k²+2k) + 1/2.

p² ist eine ganze Zahl, aber 2(k²+k) + 1/2 ist
keine ganze Zahl, also Widerspruch.

Demnach muss n gerade sein.

---

Falls man nicht sieht, dass 2(k²+k)+1/2 keine ganze
Zahl ist, dazu kurz der Beweis:

Annahme 2(k²+k)+1/2 sei eine ganze Zahl q ∈ ℕ.

Die Gleichung 2(k²+k)+1/2 = q ist äquivalent mit

2(k²+k) = q - 1/2

q - 1/2 ist aber keine ganze Zahl, während 2(k²+k)
eine gerade Zahl, also insbesondere eine ganze
Zahl ist. Also Widerspruch zur Annahme, dass
2(k²+k)+1/2 eine ganze Zahl ist.

Gruss

Kommentar von PaelzerBu96 ,

danke, hat mir sehr geholfen :-)

Kommentar von eddiefox ,

Gerne, freut mich. :)

Antwort
von Skylanderr, 13

Setze für m bzw. n 2k+1 ein und forme nach k um, es müsste ein widerspruch rauskommen und damit ist es bewiesen

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