Frage von schmidtmechau, 98

Hallo! Wie lautet das Bildungsgesetz dieser Zahlenreihe bzw. -folge?

Ich habe eine Zahlenfolge: 0, 24, 50, 80, 116, 160, 214, 280, 360.

Die Intervalle zwischen diesen Zahlen lauten also: 24, 26, 30, 36, 44, 54, 66, 80.

Die Intervalle vergrößern sich also mit jedem Schritt um 2.

Die Intervalle der Intervalle lauten also 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.

Die Bildungsformel kann doch nicht so schwierig sein, aber ich komme einfach nicht darauf. Wäre also sehr dankbar für Hilfe.

Gruß Friedemann

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von WeicheBirne, 68

hhhhhh

Kommentar von schmidtmechau ,

Hallo WeicheBirne,

danke für Deine Antwort.

Aber stimmt sie?

Für a_1 und a_2: Ja!

Für a_3: a_3 = 50 + 24 + (3 - 1) * 2 = 78; es müsste aber 80 sein!

So ist es dann auch für alle folgenden.

Kommentar von WeicheBirne ,

Hast Recht, ist mir im letzten Augenblick auch noch aufgefallen. :(

Darum hab ich's noch schnell gelöscht.

Das hier sollte stimmen

a_n = a_(n-1) + 24 + n^2 - n

Kommentar von WeicheBirne ,

Schnell noch die Herleitung

wenn Du von den Intervallen zwischen den Zahlen der Folge 24 abziehst kriegst Du

0 2 6 12 20 30 ...

Das ist eine Folge die durch

a_n = Summe von i = 1 bis n  2*(n-1) 

       = 2 * Summe von i = 1 bis n   (n-1)

beschrieben wird, wobei die Folge mit n = 1 beginnt.

Die Summe ist eine arithmetische Reihe

Summe von i = 1 bis n   (n-1) =  n*(n-1)/2

Also

a_n = 2 * n*(n-1)/2 = n^2 - n

Kommentar von schmidtmechau ,

Hallo WeicheBirne,

Deine Formel stimmt immer noch nicht, aber jetzt bin ich auf die richtige gekommen:

a_n = a_(n-1) + 24 + (n-1)^2 - (n-1)

Dein Denkansatz war richtig! Vielen Dank.

Kommentar von WeicheBirne ,

Hm, da blick ich gerade nicht durch

also nach Deiner Formel

a_0 = 0

a_1 = 0 + 24 + 0 - 0 = 24

a_2 = 24 +24 + 1 - 1 = 48

Wenn Du meinen Vorschlag nimmst

a_0 = 0

a_1 = 0 + 24 + 1 - 1 = 24

a_2 = 24 + 24 + 4 - 2 = 50

a_3 = 50 + 24 + 9 - 3 = 80

a_4 = 80 +24 +16 -4 = 116 

Kommentar von schmidtmechau ,

Du hast recht. Das war jetzt nur eine Frage der Nummerierung. Ich habe angefangen:

a_1 = 0, da die 0 das erste Glied der Folge ist.

Kommentar von WeicheBirne ,

Oh... alles klar. Hat ein wenig gedauert, aber jetzt sieht wirklich alles gut aus :)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 49

an = 1/3 n³ - n² + (74/3) n - 24

so ist das Bildungsgesetz.

Kommentar von schmidtmechau ,

Hallo Ellejolka,
vielen Dank für Deine Lösung. Ich habe frage mich, ob diese doch relativ komplizierte Formel in die einfachere von WeicheBirne zu überführen ist.

Gruß Friedemann

Kommentar von Ellejolka ,

mein Bildungsgesetz ist ja explizit; das kann man in rekursive umwandeln,

aber bei rekursiv darf mE nur a(n-1) auftauchen; eure ist ja gemixt.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 57

und im 3. Schritt ; Intervall immer 2 ;

also kannst du probieren, ob es mit einer Funktion 3. Grades klappt;

y=ax³+bx²+cx+d

jetzt setzt du 4 Punkte ein und löst das Gleichungssystem,

P1 (1;0)

P2 (2;24)

P3 (3;50)

P4 (4;80)

Antwort
von MusiToo, 27

Ich würde den Ansatz über die Intervalle nehmen:

(1) Intervalle der Intervalle "Z"

2 4 6 8 10 ...

Z(m) = sum{1 bis m} 2 = 2m

(2) Intervalle "Y"

24 50 80 116 160 214 280 360 ...

Indexänderung: m = n-1

Y(n) = 24 + sum{0 bis n} (Z(n-1))
= 24 + sum (2(n-1))
= 24 + sum (2n-2)
= 24 + 2*sum (n) - sum (2)
= 24 + 2*(n+1)*n/2 - 2n
= 24 + n^2 + n - 2n
= 24 + n^2 - n

(3) Bildungsformel "X"

X(n) = sum{0 bis n} (Y(n))
= sum (24 + n^2 - n)
= sum (24) + sum (n^2) - sum (n)
= 24n + 1/6*(n*(n+1)*(2n+1)) - (n+1)*n/2
= ...
= 1/3 * n^3 + 71/3 * n

Erscheint mir als ein logischer, nachvollziehbarer Weg und die kürzeste Bildungsformel.

Antwort
von Schachpapa, 39

Klappt mit Ellejolkas Verfahren:

1/3 (x^3 - 3 x^2 +74 x - 72)

Gib mal bei wolframalpha.com ein. Er schlägt vor

a_n = 1/3 (n-1) (n^2-2 n+72)







Kommentar von schmidtmechau ,

Hallo Schachpapa,

vielen Dank für Deine Antwort.

Gruß Friedemann

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