Frage von henry1987, 36

Hallo, wie kann man folgenden integral substituieren - integral (cos^2(x) + 46 cos(x) +9) Vielleicht kann jemand helfen?

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 8

Summenregel anwenden !

F(x)= Int(f1(x)*dx  + Int(f2(x)*dx +Int(f3(x)*dx

Aus den Mathe-Formelbuch

Integral ( cos^n(c*x) *dx =

(cos^(n-1)(c*x)) * sin(c*x)/( c* n)+(n-1)/n * Interal( cos^(n-1) *dx

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 21

Hallo,

die Summanden kannst Du einzeln integrieren.

Schwierigkeiten macht eigentlich nur ∫cos²x=∫cosx*cosx

Hier gehst Du nach der Methode der partiellen Integration vor:

∫f'*g=f*g-∫f*g'

f'=cosx, f=sinx, g=cos x, g'=-sinx

∫cos²x=sinxcosx-∫-sin²x=sinxcosx+∫sin²x

Jetzt wird's etwas trickig: Du ersetzt sin²x durch 1-cos²x, hast es also mit dem Restintegral ∫(1-cos²x) zu tun, das Du in die beiden Integrale 

∫1 -∫cos²x aufteilst.

So kommst Du auf

∫cos²x=sinxcosx+x-∫cos²x

Wenn Du nun -∫cos²x auf die linke Seite bringst, erhältst Du:

2∫cos²x=sinxcosx+x

Also ist ∫cos²x=0,5*(sinxcosx+x)

Die anderen Integrale sind leicht zu lösende Grundintegrale.

Bei ∫46*cosx ziehst Du die 46 vor das Integral: 46*∫cosx=46*sin x

∫9=9x

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Kesselwagen, 16

Hey :-)

Substituieren brauchst Du hier gar nicht. Du hast eine Summe von Funktionen, die Du durch einzelne Teilintegrale lösen kannst.

Ein Tipp für das cos^2(x):

  • cos^2(x) = 0.5 + 0.5 cos(2x)

Damit ersparst Du Dir die Anwendung der Produktregel (ich find immer dass die Produktregel soweit wie möglich vermieden werden soll, da fehleranfällig und rechenlastig^^). Somit wird das Integral zu

∫ 9.5 dx + 0.5 ∫ cos(2x) dx + 46 ∫ cos(x) dx

---

LG. Kesselwagen

Antwort
von Melvissimo, 17

Warum willst du überhaupt substituieren? Integriere doch einfach jeden Summanden einzeln.

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