Frage von Chester96, 37

Hallo, wie kann ich die Stammfunktion von f(x)= (2x-1)^3 berechnen?

Auf meinem Arbeitsblatt steht: F heißt Stammfunktion von f, falls F'(x)= f(x) ist. Ist F eine Stammfunktion von f, dann auch G mit G(x)=F(x) +c. Was bedeutet G(x) ?

Irgendwie kann ich nichts damit anfangen:(

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 17

Kettenregel y=F(x)= S f(Z) * dz/ z´

also z=2*x-1 abgeleitet dz/dx= 2 

y´= z^3 eregibt y= S z *dz ergibt y= 1/4 * z^4 * 1/2 = 1/8 * (2 *x-1)^4

Hinweis :Die Kettenregel funktioniert nur wenn dz/dx= konstant ist oder sich das verbleibende x herauskürzt !!

Eine Konstante (hier 1/2) kann vor das Integral (S) gezogen werden..

Antwort
von Myrine, 36

G(x) ist auch eine Stammfunktion von f(x). Der Satz auf deinem Arbeitsblatt sagt aus, dass es mehrere Stammfunktionen gibt, die sich nur durch einen beliebigen konstanten Summanden c unterscheiden.

z.B. f(x) = 3x²
Dann wäre F(x) = x³ ein Stammfunktion, da F'(x) = 3x² = f(x).
Aber auch G(x) = x³ + 4 ist eine Stammfunktion, da G'(x) = 3x² = f(x).

Und wenn man G(x) mit F(x) vergleicht stellt man fest, dass gilt G(x) = F(x) + 4, also G(x) = F(x) + c (hier mit c = 4).

Kommentar von Chester96 ,

Irgendwie verstehe ich nicht, wie du auf G(x) = x^3 + 4 kommst. Wie kommst du auf 4?

Kommentar von Myrine ,

Ist doch bloß ein Beispiel, statt 4 könntest du wie gesagt auch jede beliebige andere Konstante nehmen.

Kommentar von Myrine ,

Ach, und eine Stammfunktion zu f(x) = (2x-1)^3 ist F(x) = (2x-1)^4 / 8.

Expertenantwort
von stekum, Community-Experte für Mathe, 37

f(x)= (2x - 1)³  hat die Stammfunktion F(x) = ¼ (2x - 1)⁴  und folglich auch die Stammfunktion G(x) = ¼ (2x - 1)⁴ + 17 oder ¼ (2x - 1)⁴  -  413 oder allgemein
¼ (2x - 1)⁴ + C  bzw. F(x) + C

Kommentar von Chester96 ,

Danke für deine Antwort. Wie kommst du denn auf 17 oder -413?

Kommentar von stekum ,

Du kannst auch irgendeine andere Fantasie-Zahl einsetzen. Wenn Du die Probe machst durch ableiten, fällt sie eh weg.

Kommentar von Myrine ,

F(x) = 1/8 (2x - 1)^4
⇒ F'(x) = f(x) = (2x - 1)^3

Beim Ableiten darfst du die Kettenregel nicht vergessen (innere mal äußere Ableitung).

Kommentar von Chester96 ,

Eine Klassenkameradin von mir hat diese Aufgabe so gerechnet: f(x)= (2x-1)^3 = (2x-1)(4x^2 -4x+1)

= 8x^3 -8x^2 + 2x - 4x^2 + 4x -1

= 8x^3 - 12x^2 + 6x -1

F(x) = 2x^4 -4x^3 +3x^2 -x

Verstehst du, was sie gemacht hat?

Kommentar von Chester96 ,

I need help:(

Kommentar von Myrine ,

Klar, sie hat die Klammer aufgelöst, damit das Aufleiten einfacher wird.

   (2x-1)^3
= (2x-1)(2x-1)^2                              2. binomische Formel
= (2x-1)(4x^2 -4x +1)                      Klammern ausmultiplizieren
= 8x^3 -8x^2 + 2x -4x^2 + 4x -1      Summanden zusammenfassen= 8x^3 -12x^2 +6x -1

Für Potenzen gibt es ne recht einfache Regel für's Aufleiten:
f(x) = x^n   ⇒   F(x) = 1/(n+1) · x^(n+1)

f(x) = 8x^3 -12x^2 +6x -1
F(x) = 2x^4 -4x^3 +3x^2 -x

Kommentar von Chester96 ,

Danke:))

Kommentar von stekum ,

Danke, ist mir auch gerade eingefallen. Aber ich hatte es so eilig, den Anfang vom James Bond nicht zu verpassen.

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