Frage von giovani2015, 97

Hallo liebe Mathefreunde Ich hab hier eine schwierige Übung. Leider bin ich mir die Lösung nicht sicher. Kann mir jemand helfen?

Die 2. Ableitung einer Funktion ist y´´ = 12x + 6 Im Punkt P(2/1) ist die Tangentengleichung y = 24x + d Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathematik, 42

y ´´ = 12 * x + 6

y´ = ∫ y´´ * dx = 6 * x ^ 2 + 6 * x + C

y = ∫ y ´ * dx = 2 * x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + C * x + k

Die Steigung der Tangente ist 24

Nun berechnet man C über die 1-te Ableitung -->

6 * 2 ^ 2 + 6 * 2 + C = 24

24 + 12 + C = 24

36 + C = 24

C = -12

Man kann k über den Punkt (2 | 1) berechnen -->

2 * 2 ^ 3 + 3 * 2 ^ 2 - 12 * 2 + k = 1

16 + 12 - 24 + k = 1

4 + k = 1

k = -3

y = f(x) = 2 * x ^ 3 + 3 * x ^ 2 - 12  * x - 3

Antwort
von Dosssos, 55

Die Funktion ist eine funktion dritten grades, du kannst auch noch die 2. ableitung 2x aufleiten um genauere infos zu bekommen,
Bedingungen f(2)=1
f''(2)=24 (Steigung der Tangente)
Wenn du die fkt zweimal aufleitest hast du zwei unbekannte (einmal plus c und dann das aufgeleitete plus c (also Cx) C und c sind unterschiedlich, du hast 2 bedingungen, ab in ein lgs und lösen :)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 25

Man muss ja nicht gleich integrieren. Mit Differenzieren geht es schneller (ganz konventionell):
y = ax³ + bx² + cx + f          f, weil d durch die Tangente belegt; e vermeide ich
y' = 3ax² + 2bx + c
y'' = 6ax + 2b

Wenn die 2. Ableitung y'' = 12x + 6 ist, lese ich direkt ab:
a = 2
b = 3

Damit gehe ich in die erste Ableitung und erhalte bei x=2:
24 + 12 + c = 24
                 c = -12

Schließlich ist für (2|1) die Originalfunktion:
16 + 12 - 24 + f = 1
                       f  = -3

Damit ist für die Parabel:
y = 2x³ + 3x² -12x - 3

Fehlt noch das d von der Tangente aus (2|1):
1 = 24 * 2 + d
d = -47

Damit die Tangente:
y = 24x - 47

Kommentar von werweisswasokay ,

wieso f und nicht d?

Kommentar von Volens ,

Ist dir nicht aufgefallen, dass das d in der Aufgabe schon in der Tangentengleichung vorkommt? Du könntest das d dann nur nehmen, wenn es das gleiche wäre. Das ist es aber nicht.
Die Komponente f ist das Absolutglied der Kurve,
d hingegen ist der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse.
Das ist ein völlig anderer Sachverhalt.

Und e versuche ich zu vermeiden, damit es keine Verwechslungen mit der Eulerschen Konstante gibt.

Antwort
von werweisswasokay, 21

Die erste formel die du geschrieben hast, ist das die grundformel für eine funktion dritten grades?

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