Frage von Siarzewski, 27

Hallo Leute, ich habe eine Aufgabe mit komplexen Zahlen und ich soll den Imaginärteil berechnen. Kann mir jmd helfen?

Und zwar, die Aufgabe lautet berechne Im( 3-4i / 2+5i - i^23 ). Dann rechnen man natürlich allgemein die Division und es kommt -14/29 - 23/29i raus. Dann rechnet man den Imaginärteil und irgendwann am Ende kommt sowas wie: Im (- 14/29 + 6/29i ) = 6/29 Wie kommt man auf den Bruch 6/29 ? Zieht man einfach das i^29 - den Nenner 29?

Vielen Dank im voraus.

Siarzewski

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 14

Die i^23 musst Du ausrechnen, dann auf den gleichen Hauptnenner bringen und zusammenfassen:

i^23=(i²)^11*i = (-1)^11*i=-1i=-i

(3-4i)/(2+5i) - i^23 = -14/29-23/29i -(-i) =-14/29-23/29i + i
=-14/29-23/29i+29/29i = -14/29+6/29i

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 11

-i^23 = +i

also zu berechnen:

(3-4i)/(2+5i)   +i     Bruch mit 3. Binom des Nenners erweitern

(3-4i)(2-5i) / (2+5i)(2-5i)    +i       Klammern lösen

(12-15i-8i+20i²) / (4-25i²)     +i       ergibt

(12-23i-20) / (4+25)    +i      ergibt

(-8-23i)/29   +i         auf Hauptnenner bringen

(-8-23i+29i)/29   ergibt

(-8+6i)/29 = -8/29 + 6/29 i

also Imaginärteil

6/29

Kommentar von Ellejolka ,

Fehler in der 5. Zeile

3•2=6 und nicht 12

Antwort
von seifreundlich2, 8

Sei der Imaginärteil Im des Terms (3 - 4i)/(2 + 5i) - i²³ zu berechnen.


Betrachten wir zunächst den Quotienten

(3 - 4i) / (2 + 5i) = (3 - 4i)(2 - 5i) / (2 + 5i)(2 - 5i) = (6 - 23i + 20i²) / (4 - 25i²), (I)

Analog dem komplexen Einheitskreis gilt: i² = -1.

(I) lässt sich demnach vereinfachen zu

<=> (6 - 23i - 20) / (4 - (-1)*25) <=> (6 - 23i - 20) / (4 + 25) <=> (-14 - 23i) / 29 <=> -14/29 - (23/29)i


Nun formen wir i²³ elegant um, indem wir die Beziehung i⁴ = 1 ausnutzen.

i²³ <=> (i⁴)⁵ * i³ <=> 1⁵ * i³ <=> i³ <=> -i <=> -(29/29)i


Zusammenfügen der beiden Teilterme liefert

-14/29 - (23/29)i - (-29/29)i = -14/29 - (23/29)i + (29/29)i = -14/29 + (6/29)i


=> Im((3 - 4i)/(2 + 5i) - i²³) = Im(-14/29 + (6/29)i) = 6/29

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 12

steht im Zähler 3-4i

und im Nenner 2+5i-i^23 ??

oder lautet die Aufgabe anders?

Kommentar von Siarzewski ,

Im Zahler 3-4i und im Nenner 2+5i und dann von diesem Bruch i^23 abziehen

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