Frage von MightyMike87, 47

Hallo, kann mir jemand zu folgender Ungleichung den detailierten Lösungsweg sagen: ||x+1|-|x-2||=1 ?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 13

Für jede Auflösung eines Betrages nimmt man eine Fallunterscheidung.

Am Ende prüft man, welche Fälle tatsächlich Lösungen ergeben.

1. |x+1| - |x-2|    kleiner, gleich oder größer 0?

1.a) |x+1| - |x-2| ≥ 0

=> | |x+1| - |x-2| |  = |x+1| - |x-2|

=> Gleichung äquivalent zu  |x+1| - |x-2| = 1

2. x+1    kleiner, gleich oder größer 0?

2.a) x+1 ≥ 0

=> |x+1| = x+1

=> Gleichung äquivalent zu (x+1) - |x-2| = 1

3. x-2    kleiner, gleich oder größer 0?

3.a) x-2 ≥ 0

=> |x-2| = x-2

=> Gleichung äquivalent   (x+1) - (x-2) = 1

=> Gleichung äquivalent 3=1 äquivalent falsch

also liefert dieser Fall keine Lösung.

3.b) x-2 < 0 

=>  |x-2| = -(x-2)

=> Gleichung äquivalent   (x+1) + (x-2) = 1

=> Gleichung äquivalent   2 x - 1 = 1   äquivalent  x = 1

Annahme 3.b) passt: 1-2 < 0

Annahme 2.a) passt: 1+1 ≥ 0

Annahme 1.a) |1+1| - |1-2| = 1 ≥ 0, passt auch.

=> x = 1 ist eine Lösung.

2.b) x+1 < 0

=> |x+1| = -(x+1)

3.a) x-2 ≥ 0

Hier sehen wir sofort, dass das nicht sein kann. Wir könnten aber natürlich weiterrechnen.

3.b) x-2 < 0

=> |x-2| = -(x-2)

=> Gleichung äquivalent    -(x+1) - (x-2) = 1  

=> Gleichung äquivalent    x = 0

Annahme 3.b) passt, aber nicht Annahme 2.b)

1.b) |x+1| - |x-2| < 0

=> | |x+1| - |x-2| |  = -( |x+1| - |x-2| )

usw.

Antwort
von ProfFrink, 24

Betragsgleichungen sind eine hakelige Angelegenheit, die man mit äusserter Sorgfalt anpacken muss. Letztlich muss man aus jedem Betragsausdruck eine neue Funktion mit Fallunterscheidung hinsichtlich des Intervalls machen.

Danach bleibt es einem nicht erspart jedes Teilintervall getrennt nach einer Lösung der Gleichung abzusuchen. Wenn man das nicht macht, dann kann es sehr leicht passieren, dass eine Lösung verloren geht.

Detaillierte Ausrechnung in der Abbildung

Kommentar von MightyMike87 ,

Also bis zu den zwei g(x) komme ich mit, aber was wird denn bei der detaillierten ausrechnung unten in der geschweiften klammer bei f(x) gemacht??

Kommentar von ProfFrink ,

Letztlich wird ja von diesem g(x) auch wieder der Betrag gebildet. Aus der Zahl 3 wird wieder eine 3. Aus -3 wird eine +3. Aber der mittlere Fall mit dem Term 2x-1 muss erneut in zwei Teilintervalle zerlegt werden. Denn 2x-1 kann negativ oder positiv werden, je nach Argument. Der Nullpunkt liegt hier an der Stelle x = 0,5. Folglich erfolgt genau da eine neue Intervallaufteilung.

Für alle x > 0,5 gilt der Termin 2x-1

Für alle x <= 0,5 gilt der Termin mit Vorzeichenwechsel -2x+1

So werden aus drei Fällen vier Fälle.

Furchtbares Gestrüpp diese Betragsfunktionen.

Kommentar von MightyMike87 ,

Okay und warum gibt es dann am Ende nur zwei Lösungen? Weil 3>2 würde doch auch stimmen?

Kommentar von ProfFrink ,

Die Forderung ||x+1|-|x-2||=1 ist ja als Gleichung aufgestellt und nicht als Ungleichung. Genau diese Forderung muss erfüllt werden.

Nirgends wird gefordert, dass ||x+1|-|x-2|| > 2 sein soll

Kommentar von MightyMike87 ,

Also sind die Lösungen der Aufgabe 0 und 1??

Kommentar von ProfFrink ,

Ja, 0 und 1 sind die Lösungen. Mal Dir den Graphen der linken Gleichungsseite. Dann wird es besonders deutlich.

Antwort
von MarcelDavis321, 17

x = 1 passt 

Du must eig nicht viel wissen ausser dass eine Zahl in Btragsstrichen immer positiv ist. So ist |5| = 5 und |-5| auch = 5. Also kannst du die 1 einsetzen dann hast du ||1+1|-|1-2||. Das wird zu ||2|-|-1||, aber dadurch dass -1 auch posiiv wird steht da  |2 - 1|. und das ergibt 1. Da es schon positiv ist kannst du die betragsstriche entfernen.

Antwort
von Joochen, 10

Das ist keine Ungleichung.

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