Frage von niewiedertipico, 65

Hallo, kann mir eventuell jeman bei der Berechnung der Aufgabe einen Lösungsansatz geben die algemeine Formel für dei höhe lautet ja y=x*s/100 stimmts?

Antwort
von WeicheBirne, 12

Die Aufgabe enthält einige komische Bezeichnungen, die ich leider nicht ganz verstehe, aber ich versuche mal soweit wie möglich zu helfen.

Wir brauchen hier eine Funktion, die die Höhe der ausgerundeten Straße an jedem Ort beschreibt. Eine solche Funktion erhältst Du aus der Kreisgleichung

(x - xM)^2 + (y - yM)^2 = H^2

H ist dabei der Radius der Ausrundung. In Deiner Aufgabe wird er als Halbmesser bezeichnet. Also H = 5000 m. xM und yM sind die Längen- und Höhenkoordinate des Kreismittelpunktes. Die müssen wir bestimmen damit wir die Kreisgleichung nutzen können. x ist eine Längenkoordinate auf der Straße y ist die zugehörige Höhenkoordinate auf der Straße.

Zur Berechnung von xM und yM können wir die Tangenten der Ausrundung heranziehen. Die Tangenten sind Geraden mit den Gleichungen

y = m1 x + b1
y = m2 x + b2

m1 und m2 sind die Steigungen

Eine Tangente hat eine Steigung von 4%, also m1 = 0,04. Die andere hat eine Steigung von -6%, also m2 = -0,06. Für beide Tangenten müssen wir noch die Y-Achsenabschnitte b1 und b2 berechnen.
Wir kennen den Tangentenschnittpunkt, an dem gilt:

45000 m = 0,04 t + b1
45000 m =-0,06 t + b2

Leider ist mit nicht ganz klar was die Stationsangabe 1 + 500 bedeuten soll. Daraus müßtest Du irgendwie den Wert t ermitteln (der X-Wert des Tangentenschnittpunktes). Dann kannst Du b1 und b2 errechnen.

Wenn wir die Kreisgleichung nach y umformen kriegen wir

yM -+ Wurzel(H^2 - (x - xM)^2 ) = y

Da ich nicht genau weiß was eine Ausrundung sein soll habe ich hier mal -+ geschrieben. Wenn eine Ausrundung eine Mulde ist nimmst Du - wenn es ein Hügel ist nimmst Du +.


Da die Tangenten die Ausrundung schneiden, müssen sie sich jeweils ein Koordinatenpaar x1,y1 bzw. x2,y2 mit der Ausrundung teilen.

yM -+ Wurzel(H^2 - (x1 - xM)^2 ) = y1
0,04 x1 + b1 = y1

yM -+ Wurzel(H^2 - (x2 - xM)^2 ) = y2
-0,06 x2 + b1 = y2

Hier können wir also gleichsetzen

yM -+ Wurzel(H^2 - (x1 - xM)^2 ) = 0,04 x1 + b1
yM -+ Wurzel(H^2 - (x2 - xM)^2 ) = -0,06 x2 + b1

Da wir vier unbekannte x1, x2, xM und yM haben brauchen wir zum Lösen noch zwei weitere Gleichungen.


Die kriegen wir aus der Ableitung von yM -+ Wurzel(H^2 - (x - xM)^2 ) = y

dy / dx = -+ 0,5 (H^2 - (x - xM)^2 )^-0,5 *-(x - xM)

Wir wissen, daß dies bei den Tangentenpunkten 0,04 und -0,06 sein muß

-+ 0,5 (H^2 - (x1 - xM)^2 )^-0,5 *-(x1 - xM) = 0,04
-+ 0,5 (H^2 - (x2 - xM)^2 )^-0,5 *-(x2 - xM) = -0,06

Jetzt hast Du vier Gleichungen und kannst mit eine wenig Umstellen die Werte für x1, x2, xM und yM bestimmen.

Deine Kreisgleichung

yM -+ Wurzel(H^2 - (x - xM)^2 ) = y

ist nun komplett zur Lösung der Aufgabe. Ich weiß wiederum nicht was Station 1+360,000 bedeutet, aber irgendwie mußt Du daraus den x-Wert bestimmen. Der y-Wert ist dann die gesuchte Höhe.

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