Frage von lexa1010, 108

Hallo kann mir bitte jemand das 1. Wendestellenkriterium einfach erklären, ich verstehe das in meinem Mathebuch einfach nicht :(?

D.h ohne der 3ten Ableitung, woher weiß ich, dass ein Wendepunkt bzw. ein Terrassenpunkt besteht ? Wäre über eine einfache Erklärung sehr dankbar!

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 44

Übersicht:

f (x)  = 0       Nullstelle
f '(x) = 0       Extremwert
f ''(x) = 0      Wendepunkt

zusätzliche Bedingungen:

f ''(x) < 0       Maximum (Eselsbrücke: negativ)  beim x des Extremwerts
f ''(x) > 0       Minimum (Eselsbrücke: positiv)  beim x des Extremwerts

notwendige Bedingung für Sattelpunkt (unter Verzicht auf f '''(x)):
f '(x) = 0   und   f ''(x) = 0      (beides muss dann gelten an der Stelle)

Wichtig!
f '(x)  = m      m ist Steigung der Tangente bei diesem x

Kommentar von lexa1010 ,

Danke, dies weiß ich aber leider alles schon. Meine Frage ist, was muss denn raus kommen, wenn ich die 2. Ableitung gleich null setzte? Wie unterscheide ich einen Terrassenpunkt von einem Wendepunkt?

Kommentar von Volens ,

Steht schon da.
Mit einem Sattel- oder Terrassenpunkt kannst du rechnen, wenn f '(x) = 0 und an derselben Stelle f ''(x) = 0.
Mit f ''' bekommt man letzte Sicherheit, aber diese beiden Bedingungen reichen schon. So ein Punkt ist ja in gewisser Weise auch ein Extremwert, - einmal von links und einmal von rechts betrachtet. Jedenfalls ist es auch ein Punkt mit waagrechter Tangente.

Kommentar von Schachpapa ,

Gegenbeispiel: f(x) = x^4 

f''(0)=0 aber kein WP

Kommentar von Volens ,

Deshalb ja auch mein Hinweis auf die "letzte Sicherheit" mit f '''(x).
Erfahrungsgemäß sucht aber keiner apriori nach Sattelpunkten. Also für den Hausgebrauch ist es ausreichend. Nichts anderes habe ich geschrieben.

Es ist doch immer wieder schön zu merken, dass die anderen mitdenken (und nach Fehlern suchen :-) ).

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 27

Das wird auf diesen Webseiten ausreichend gut erklärt -->

https://de.serlo.org/mathe/funktionen/kurvendiskussion/kruemmungsverhalten-wende...

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/kruemmung-un...

Antwort
von Polynomo, 14

Hallo lexa1010,

am besten löst Du Dich mal von der Mathematik und fährst mit irgend einem Fahrzeug ( günstig ein Fahrrad, dann spürst Du die Anstrengung ) einen Hang hinauf, meinetwegen auch einen Berg. Wenn es ziemlich steil losgeht ( große Steigung m > 0 ) bist Du sicher froh, wenn diese Steigung endlich mal abnimmt. Hast Du viel Glück, dann nimmt sie ab bis zum Stillstand ( m = 0 ), also auf einem Terassenpunkt, bevor es dann aufwärts weitergeht.

Bei weniger Glück nimmt die Steigung zwar ein Weilchen ab ( m wird kleiner ), aber dann geht es trotzdem wieder steiler weiter ( m wird wieder größer, aber ohne Stillstand ) , dann hattest Du "nur" einen Wendepunkt.

Setze das alles in Funktionsschreibweise um, dann kommst Du zu diesen Bedingungen mit f(x) und f´(x) und f´´(x) , wie sie die Mathe-Experten kennen !

Den Fall, dass es bergab geht, kannst Du Dir sicherlich selbst zurechtlegen, auch wenn Du kein Downhiller bist !!!

Antwort
von Evaloni, 51

du bildest die zweite Ableitung und setzt diese gleich 0 

f"(x)=0 

eine wendestelle gibt es so gut wie immer bei einer Funktion. 

Kommentar von lexa1010 ,

Was muss bei meinem x Wert dann rauskommen, dass es ein WEP ist?

Expertenantwort
von DieChemikerin, Community-Experte für Mathe, 18

Hi :-)

Es gilt:

Bei f'(x) = 0 ist eine Extremstelle, wenn f''(x) ungleich Null ist.

Nun, wenn du die Ableitung der Ableitung bildest, dann Hast du in der Ableitungsfunktion eine Extremstelle, wenn f''(x) = 0 ist. Und wenn du in der ersten Ableitung eine Extremstelle hast, so hast du in der originalen Funktion einen Wendepunkt.

Ausnahme: Terrassen-/Sattelpunkt - da ist sowohl f'(x) = 0 als auch f''(x) = 0; f'''(x) muss ungleich Null sein.

Du brauchst die dritte Ableitung dafür...oder du machst es über den Vorzeichenwechsel. Dazu bestimmst du die Stelle mit waagerechter Tangente. Dann musst du einen x-Wert kurz vor und hinter der Stelle nehmen und in f(x) einsetzen. Dann gilt Folgendes:

  • VZW von Minus nach Plus => Rechts-Links-Wendepunkt
  • VZW von Plus nach Minus => Links-Rechts-Wendepunkt

Bei Fragen melde dich .)

LG

Kommentar von lexa1010 ,

Könntest du mir das anhand dieser Funktion vielleicht veranschaulichen? Ich verstehe das leider immer noch nicht so wirklich :/..x^3-3ax

Kommentar von DieChemikerin ,

Oh, hallo Funktionenschar :D

fa(x) = x³ -3ax

Ableitungen bilden:

fa'(x) = 3x² -3a

fa''(x) = 6x

fa'''(x) = 6

Nun f''(x) = 0 setzen:

6x = 0

=> x = 0

Bei x = 0 liegt ein WP vor, da f'''(x) > 0. :)

f'(0) = -3a, also ungleich Null. Ausnahme: a = 0! Bei a = 0 hast du einen Sattelpunkt (Terassenpunkt) in S(0|0), denn dann sind folgende Bedingungen erfüllt:

f'(x) = 0

f''(x) = 0

f'''(x) ungleich 0

Verstehst du in etwa, was ich gemacht habe oder hast du noch Fragen?

Kommentar von lexa1010 ,

Okay danke, aber meine Frage war ja, wie ich das ganze eben OHNE die 3. Ableitung löse, da wir diese noch nicht durchgenommen haben😁

Kommentar von DieChemikerin ,

Dann bestimme f(-0,1) und f(0,1) und schau nach dem VZW :)

Kommentar von lexa1010 ,

Super vielen Dank:)

Antwort
von sarahxruu, 39

Wenn die zweite Ableitung gleich 0 ist

(Und dann muss die dritte noch ungleich 0 sein)

Kommentar von lexa1010 ,

Hab die zweite Ableitung gleich Null gesetzt, jetzt kommt ein Wert von 2 raus? Das klingt für mich paradox, wenn du meinst, es müsse einen X- Wert von 0 rauskommen? Wenn ich das so richtig verstanden habe

Kommentar von sarahxruu ,

Ja genau (ich habe es andersrum gemacht, also du hast einen Punkt und willst zeigen dass es ein Wendepunkt ist. Dann müsstest du 2 einsetzten und dann kommt ja 0 raus) Aber wenn du den WP suchst musst du gleich 0 setzten und dann kommt ja 2 raus Die setzt du dann in die 3.Abl. und wenn da NICHT 0 rauskommt hast du bei x=2 eine Wendestelle Um den Wendepunkt rauszubekommen musst du dann die 2 in die normale funktion einsetzen

Kommentar von lexa1010 ,

Danke, also wenn ich das jetzt so richtig verstanden habe. Ich soll quasi die 2. Ableitung gleich null setzten und diesen x-Wert in die 1. Ableitung aber einsetzen oder? Denn da ergibt es null, bei der normalen eben nicht

Kommentar von lexa1010 ,

Weil die 3. Ableitung wenden wir bis jetzt noch nicht an.

Kommentar von sarahxruu ,

Wenn ihr die 3.Abl. noch nicht habt dann macht es irgendwie weniger sinn weil du den direkten Beweis, dass dort ein WP ist nicht aber egal: du machst dann alles genau gleich nur eben ohne 3.Abl.: 1. 2te Ableitung gleich 0 setzen 2. Den Wert in die Funktion (nicht die erste Ableitung!) einsetzten, um den y-Wert rauszubekommem 3. Dann hast du den Wendepunkt Zwischen 1&2 kommt dann später noch das mit der 3.Abl. :)

Kommentar von sarahxruu ,

Wenn du willst kannst du mir auch die Aufgabe schreiben, dann rechne ichs vor :)

Kommentar von lexa1010 ,

Des wäre sehr nett, dann wirds vielleicht klarer 🙈! F(x)=1/9x^3 + 2/3x^2

Kommentar von sarahxruu ,

f'(x)= 1/3x^2 + 4/3x f"(x)= 2/3x + 4/3 f"'(x)= 2/3 f"(x)=0= 2/3x + 4/3 x= -2/3 f'"(-2/3)=2/3 dh ungleich null f(-2/3)= 1/9*(-2/3)^3 + 2/3*(-2/3)^2 ~0,3 W(-2/3 | 0,3)

Kommentar von lexa1010 ,

Okay danke dir, also ich habe das heute mit nem Freund gemacht und er meinte einfach, wenn bei der 2 Ableitung eine einfache Nullstelle rauskommt, dann ist es ein WEP, wenn eine doppelte raus kommt, dann wäre es kein WEP. Das ist so oder 🙈? So könnte ich mir des ganz simple merken

Kommentar von sarahxruu ,

Ja das stimmt wobei ich das mit der 3. Abl. einfacher finde (also wenn ihr es dann hattet) und du musst es in der Arbeit glaube ich auch mit der 3.Abl. machen :)

Kommentar von lexa1010 ,

Okay ja das denke ich auch😄! Danke dir :)

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