Frage von niewiedertipico, 4

Hallo, kann mir biite jemand sagen wie man bei der Aufgabe auf die partikuläre Lösung, welche rot unterstrichen ist kommt?

Antwort
von poseidon42, 1

Also du hast eine DGL der Form:

f´ + f/p(n,x) = p(m,x)

mit dem Polynom p vom Grad n bzw m.

Wir setzen an, dass f ebenso ein Polynom von mindestens dem Grad m+n ist (Ansatz vom Typ der rechten Seite). Wir können nämlich davon ausgehen, dass das resultierende Polynom aus f/p(n,x) um n Grade kleiner ist (sofern die Division ohne Rest erfolgt) und der Grad von f´ sowieso um 1 verringert ist.

Nun folgt daraus für m = 1 und  n = 1 -----> m + n = 2

Somit setzen wir für f also an mit : f = p(2, x) = ax^2 + bx + c



Um nun die Konstanten-Koeffizienten a,b und c herauszufinden setzen wir den Ansatz nun in die DGL ein:

Einsetzen liefert: (Lösen durch Koeffizientenvergleich linke und rechte Seite)

(2ax + b) + (ax^2 + bx + c)/x  = x   II hier folgt sofort c = 0

(2ax + b) + (ax + b) = x   II hiermit folgt sofort b = 0

2ax + ax = x  ---> a = 1/3

Damit erfüllt das Polynom p(2,x) = (x^2)/3  die Vorraussetzung, wir haben also eine partikuläre Lsg der DGL für f gefunden.




Du hättest hier auch mit einem allgemeinen Polynom ansetzen können, dann folgt:   f = p(n, x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + z   mit n aus den natürlichen Zahlen

Einsetzen dieses Ansatzes liefert:

(n*ax^(n-1) + b*(n-1)*x^(n-2) + ... + y) + (ax^n + ... + z)/x = x

---> sofort ablesbar:  z = 0

Addition des Restes liefert:

a*(n + 1)x^(n - 1) + b*n*x^(n-2) + ... + 2*y = x

Damit wissen wir schon mal, dass alle Koeffezienten von den übrigen Monomen des Grades größer als 1 Null sein müssen (Koeffizientenvgl.):

---> 3*r*x^1 + 2*y = x  

Erneuter Vergleich liefert dann schließlich:

-> y = 0

-> r = 1/3   (Koeffezient zu x^2 , da x^2 *1/x = x^1 bzw (x^2)´ = 2x^1 )

Wir gelangen also ebenfalls zur Lsg:

f = p(2, x) = (x^2)/3

----> Die Vorüberlegung des Ansatzes eines Polynoms bestimmten Grades ist also zur Lsg nicht notwendig.





Alternativ hätte man hier auch mit dem Ansatz der Variation der Konstanten die Aufgabe lösen können:

Wir haben die Homogene Lsg (Fundamentallösung) X(x) der DGL ermittelt, daher setzen wir an:

f(x) = X(x)*c(x)  , wobei gilt c(1) = 1

----> c(x) = c(1) + Int[1, x]{ s/X(s) ds}

Löst du dieses Integral, so erhälst du c(x) und durch anschließende Multiplikation mit der homogenen Fundamentallösung X(x) die gesuchte gesamte Lösung für f.

Antwort
von PhotonX, 1

Der Ansatz für y_p ist ja gegeben, man setzt ihn in die DGL ein, macht einen Koeffizientenvergleich (die Koeffizienten vor den unterschiedlichen x-Potenzen müssen rechts und links paarweise gleich sein) und bekommt so die Werte für die Parameter a, b und c.

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