Frage von Feldineun, 31

Hallo ihr Lieben.. eine Frage zu Begriffen in der Mathematik?

Was genau bedeutet Differenzial und Infinitesimal ich hab das schon paar mal gegooglet aber leider ohne es dann zu verstehen. Besteht bei diesen Begriffen ein Zusammenhang ?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 14

"Differenzial" kommt von "Differenz". Die Ableitung definiert man ja als Grenzwert eines Quotienten zweier Differenzen.

(Mathematisch exakt kann man ein "Differenzial" als eine lineare Funktion definieren, aber das führt über den Stoff hinaus, den man üblicherweise in der Schule behandelt.)

"Infinitesimal" hängt mit "infinit" ("unendlich") zusammen - hier im Sinne von "unendlich klein". In der "Differenzialrechnung" haben wir es ja mit sehr kleinen Größen zu tun - genauer: mit Grenzwerten, in denen Teilausdrücke gegen 0 gehen, also kleiner als jede endlich-große Größe werden. ("endlich" hier im Sinne von "einen echt positiven Abstand von 0 habend)

Differenziale in der anschaulichen Vorstellung sind infinitesimale (infinitesimal kleine) Größen; sie sind betragsmäßig kleiner als jede positive "anständige" Zahl, aber nicht wirklich gleich 0, sodass man noch einen Quotienten bilden kann.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 11

Differentialrechnung kommt von Differenz.
Differenz bedeutet ganz allgemein einen Unterschied und speziell in der Mathematik eine Subtraktion.
a - b ist eine Differenz.

Erinnere dich mal an die Anfänge im Unterricht. Erst hattet ihr es beim Ableiten auch mit Differenzen zu tun. Es ging um die Tangenten und deren Steigungsdreiecke. Das habt ihr dann mit △y/△x bezeichnet. Daraus ist dann nachher die Differentialrechnung geworden.
Und wann?

Als ihr euch den Grenzen im Unendlichen genähert habt.
"ohne Grenze" heißt auf Latein "infinitum". Das ist grenzenlos oder unendlich.
Deshalb heißt die Beschäftigung mit solchen Termen Infinitesimalrechnung.

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 4

Das Wort »infinitesimal« bedeutet »unendlich nahe an 0«.

»Aktual« infinitesimale Größen, die von Null verschieden sind, hat genau genommen erst die Nichtstandard-Analysis (NStA) mathematisch sauber definiert. Ist ε positiv, aber infinitesimal (NStA-Schreibweise ε ≈ 0), dann lässt sich dies mathematisch als

(1) 0 < ε < 1/n ∀ n∈ ℕ

schreiben.

Im Rahmen der Standard-Analysis kann man sich dem Infinitesimalen über Grenzwerte nähern. Dort kommen sie aber nicht »aus eigenem Recht« vor, sondern stehen im Dienst der Infinitesimalrechnung.

Diese tritt als Differentiation und als Integration in Erscheinung, auch schon in der Standard-Analysis.

Die Differentiation dient in der Physik beispielsweise der Berechnung der Momentangeschwindigkeit |v›(t) (Vektor) aus dem Verlauf der Momentan-Position |x›(t), die Integralrechnung macht genau das Umgekehrte, wobei hier Integrationskonstanten in Erscheinung treten.

Weil das ein gutes Beispiel ist, werde ich im Folgenden t als Variable und v(t) (anschaulich: 1D-Geschwindigkeit) als Funktion verwenden:

Durch Differentiation errechne ich die momentane 1D-Beschleunigung

(2.1) a(t) = lim_[Δt→0] {Δv(t)/Δt} =: dv(t)/dt.

Der Ausdruck Δv(t)/Δt heißt Differenzenquotient und stellt die durchschnittliche Beschleunigung im Zeitabschnitt [t, t+Δt] dar.

Kenne ich v(t) und die 1D-Position x(t₀) und möchte nun x(t₁) berechnen, so muss ich im Allgemeinen integrieren. Hierzu teile ich das Intervall [t₀,t₁] in n Abschnitte

Δt = (t₁ – t₀)/n

ein, bezeichne die Zeitpunkte zwischen als

t₀ₖ, k = 0,…, n, t₀₀ = t₀ und t₀ₙ = t₁

und definiere

(2.2) x(t₁) = x(t₀) + lim_[n→∞ ⇒ Δt→0] {∑_[k=0]^{n}} Δt·v(t₀ₖ)

                =: ∫_[t₀]^{t₁} dt v(t).

Die Herangehensweise (2.2) stammt von Bernhard Riemann, und die Summe heißt von daher Riemannsumme.

Eine etwas andere Herangehensweise, die auch einige Funktionen in den Griff bekommt, die nicht Riemann-integrabel sind, stammt von Henri Léon Lebesgue (sprich: »Lebéck«).

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