Frage von ProMaNu, 18

Hallo! ich wollte mal gerne wissen, was die numerische Methoden der Differentialgleichung sind. ist dies noch das "normale" ableiten oder welche Methoden ..?

sind das?

Antwort
von HellasPlanitia, 9

Differentialgleichungen sind Gleichungen, bei welchen ein Zusammenhang hergestellt wird zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen. Beispiele: y'(x) = y(x), also die Ableitung der Funktion ist die Funktion selbst, oder y''(x) + y(x) = sin(x). Die Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion, welche diese Gleichung erfüllt, wenn man sie und ihre Ableitungen dort einsetzt.

Numerische Methoden sind Methoden, wie man durch das Ausrechnen vieler Zwischenresultate am Ende eine (meist ungefähre) Lösung erhält. Das Gegenteil sind analytische Methoden: Da rechnet man mit Symbolen (also Variablen wie x, y, f(x) usw) herum und löst Gleichungen auf. Numerische Verfahren werden normalerweise für Berechnungen mit Computern verwendet. Ein Computer kann nur schwer symbolische Rechnungen durchführen - ein einfacher Taschenrechner z.b. lässt keine Variablen als Eingabe zu und kann erst recht keine Stammfunktionen bestimmen oder Ableitungen vornehmen. Stattdessen werden über viele, viele Zwischenschritte Zahlenwerte für z.b. eine Ableitung oder eine Stammfunktion bestimmt. Da reines Zahlenrechnen mit einem Computer sehr schnell geht, kann man in schneller Zeit eine Lösung finden, die zwar nicht völlig exakt und auch nicht symbolisch, aber für die Verwendung gut genug ist.

Numerische Verfahren für Differentialgleichungen tun genau das: Sie lösen Differentialgleichungen und geben am Ende keine analytische Lösung aus (du wirst als Lösung nicht sowas wie "y = exp(x)" bekommen), aber dafür sehr genau berechnete Zahlenwerte für die an verschiedenen Stellen ausgewertete Lösung.

Die allermeisten Differentialgleichungen sind übrigens nicht analytisch lösbar. Hier gibt es nur eine Möglichkeit: Man sucht per Rechner (früher: mit Stift und Papier) eine approximative Lösung, welche hoffentlich genau genug ist, um sie verwenden zu können. Dafür braucht man eben diese numerischen Verfahren.

Kommentar von ProMaNu ,

hat dies etwas mit

• Gewöhnliche Differentialgleichungen (Dgl. 1. Ord., Lin. Dgl. 2.
Ord. mit konst. Koeff., Schwingungen, Laplace-Transformation,
Systeme lin. Dgl.)

oder

• Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen (Partielle
Ableitung, Totales Differential, Anwendungen: Linearisierung
einer Funktion, lokale Extremwerte mit Nebenbedingung, lineare
Fehlerfortpflanzung, lineare Regression)

zutun? Kann man die Verfahren irgendwie unterordnen?

Kommentar von HellasPlanitia ,

Beide von dir genannten Punkte zählen einfach nur verschiedene Arten und Unterarten von Differentialgleichungen auf, sowie einzelne Anwendungen. Nichts davon ist ein numerisches Verfahren, aber es gibt unzählige Verfahren, womit eine oder mehrere dieser Gleichungsarten gelöst werden können. Welches Verfahren angewendet wird, hängt aber oft von der konkreten Gleichung und den Anforderungen an Geschwindigkeit und Genauigkeit der Berechnung ab.

Antwort
von Mikkey, 11

Bei Differentialgleichungen wird dem Namen nach nicht abgelitten sondern integriert (Bezeichnung für das explizite Lösen).

Numerische Verfahren kommen in Betracht, wenn die Gleichung(en) nicht explizit integrierbar sind. Es gibt dafür so viele Verfahren, dass es ein eigener Bereich der Mathematik ist. Die Angewandte Mathematik beschäftigt sich fast ausschließlich mit dem numerischen Lösen von Differential- und Integralgleichungen.

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