Frage von PhysikFreak333, 27

Vollständige Induktion - Mathe

Hallo, ich wollte fragen, ob mir jemand sagen kann, ob es eine Schreibweise gibt, wie ich die Summe von k*2^k (k=1 bis n) ausrechnen kann? Wenn ja, wie sehe die denn aus?

Antwort
von Myrine, 27

Mein Taschenrechner behauptet, dass die Summe von k*2^k für k=1 bis n gleich 2*(n-1)*2^n+2 ist. Reicht dir das erstmal oder wolltest du das auch noch bewiesen haben (vollständige Induktion).

Kommentar von Myrine ,

Induktionsanfang (n=1):
∑[k=1; n] k*2^k  =  1*2^1  =  2
2*(n-1)*2^n+2  =  2*(1-1)*2^1+2  =  2

Induktionsschritt:
Es ist zu zeigen, dass ∑[k=1; n+1] k*2^k = 2*n*2^(n+1)+2 gilt,
unter der Vorraussetzung, dass ∑[k=1; n] k*2^k = 2*(n-1)*2^n+2 gilt.

   ∑[k=1; n+1] k*2^k
= ((n+1)*2^(n+1)) + ∑[k=1; n] k*2^k
= ((n+1)*2^(n+1)) + 2*(n-1)*2^n+2
= (n+1)*2^(n+1) + (n-1)*2^(n+1) + 2
= ((n+1)+(n-1))*2^(n+1) + 2
= (n+n)*2^(n+1) + 2
= 2*n*2^(n+1) + 2                          q.e.d.

Antwort
von ApexY, 24

Is Induktion nicht eher was für die Physik? (Bin 10. also hab ka 🙈)

Kommentar von Myrine ,

Naja, "Induktion" gibt's auch in der Physik, das ist schon richtig. Aber die "vollständige Induktion" der Mathematik um die es hier geht ist eine Beweismethode.

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