Frage von josua1002, 20

Hallo ich verstehe Höhensatz nicht. Kann mir den bitte mal einer erklären so das ihn auch IDIOT wie ich versteht?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 11

Hallo,

es gibt drei grundlegende Sätze im rechtwinkligen Dreieck, mit denen sich fehlende Stücke berechnen lasssen.

Der bekannteste und wichtigste ist der Satz des Pythagoras, der besagt, daß in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Hypotenuse (die Hypotenuse ist die Seite, die im rechtwinkligen Dreieck dem rechten Winkel gegenüberliegt - das Quadrat über der Hypotenuse ist ein Quadrat, das die Hypotenuse als Grundseite hat) genauso groß ist, als wenn man die Quadrate über den Katheten (die Katheten sind die beiden Schenkel des rechten Winkels) zusammenzählt. 

a²+b²=c²

Wenn also eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks 3 cm lang ist, die andere 5, dann hat die Hypotenuse als Länge die Wurzel aus (3²+5²), also die Wurzel aus 34, was nicht ganz 
6 cm ergibt.

Wenn Du vom Scheitel des rechten Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck (meist ist das der Punkt C) eine senkrechte Linie bis auf die Seite c (also die, die die Punkte A und B verbindet), ziehst, ist das die Höhe auf c, also auf die Hypotenuse. (Du kannst die Seiten und Punkte auch anders benennen, wichtig ist nur, daß es hier um die Höhe geht, die auf die Hypotenuse trifft)

Diese Höhe teilt die Seite c in zwei Abschnitte ein: links von ihr liegt der Abschnitt q, rechts von ihr der Abschnitt p.

Eine Abbildung findest Du hier:

https://de.serlo.org/mathe/geometrie/satzgruppe-des-pythagoras/hoehensatz-und-ka...

Der Höhensatz nun besagt, daß, wenn Du die Längen dieser beiden Abschnitte multiplizierst, aus ihnen also ein Rechteck formst, dieses Rechteck genauso groß ist, wie ein Quadrat, das als Grundfläche die Höhe des Dreiecks auf die Hypotenuse hat.

h²=p*q

Ähnlich ist der sogenannte Kathetensatz:

Der Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks, der rechts von der Höhe auf c liegt, ist die Seite a, sie liegt dem Punkt A gegenüber und ist oberhalb des Hypotenusenabschnittes p.

Wenn Du p mit c multiplizierst, also wieder ein Rechteck aus diesen beiden Stücken bildest, ist das Rechteck flächenmäßig genauso groß wie ein Quadrat über der Seite a.

a²=p*c

Entsprechendes gilt natürlich auch für die linke Seite des Dreiecks (wenn der rechte Winkel oben liegt):

b²=q*c

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von josua1002 ,

Ok Winni Popo

Kommentar von Willy1729 ,

Was soll das denn jetzt? Erwartest Du hier vernünftige Antworten oder trollst Du nur herum?

Kommentar von josua1002 ,

Das war ein Spaß. Danke für die Antwort. Aber dank dem Video habe ich es schon verstanden.

 

Kommentar von Willy1729 ,

Dann sei Dir verziehen.

Antwort
von gilgamesch4711, 3

  Ich könnte es dir begreiflich machen, wenn du dich mit sowas wie dem ===> Skalarprodukt anfreunden könntest. Nimmt man die üblichen Orientierungen der Vektoren in einem Dreieck, so hast du

   a  =  -  p  +  h     (  1a  )

    b  =  q  +  h    (  1b  )

   Jetzt nimm mal das Skalarprodukt von ( 1a ) mit ( 1b )

  < a | b > = < h - p | h + q  >    (  2  )

   Das Schöne bei dem Skalarprodukt, weshalb man sowas überhaupt macht, ist ja seine ===> Distributivität.

 < a | b > = < h | h > + < h | q > - < p | h > - < p | q >   ( 3 )

    Wenn zwei Vektoren in die selbe Richtung zeigen, ist ihr Skalarprodukt einfach das Produkt der Beträge:

   < h | h > = h ²  ;  < p | q >  =  p  q    (  4a  )

   Nun steht aber h senkrecht auf c , mithin auch auf p und q

    <  h  |  p  >  =  <  h  |  q  >  =  0     (  4b  )

    Dann steht also in ( 3 )

     < a | b > =  h  ²  -  p  q    (  5a  )

   eine allgemeine Beziehung, die zunächst mal für jedes Dreieck erfüllt ist. Wenn aber a und b die Kateten eines rechtwinkligen Dreiecks sind, folgt aus ( 5a )

    h  ²  -  p  q  =  0  ===>  p  q  =  h  ²   (  5b  )

Kommentar von josua1002 ,

Danke hab schon verstanden aber das hätte ich net kapier

Antwort
von Porrenta, 17

Hi Josua,


Euklid ist halt ein böser Mensch ;)


Scherz beiseite, schau dir das mal an.

Du bist kein Idiot, du hast nur noch nicht jemanden gefunden, der es dir so erklärt, dass du es kapierst.



LG, Porre.


Kommentar von Willy1729 ,

Perlen vor die Säue. Leider.

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